历史回顾
一元二次方程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但一元三次方程的解法似乎并不广为人知，而了解四次方程解法的就更少了。当然，解三次和四次方程都是有判断法则和求根公式的，这和二次方程是类似的。那么一个自然的问题是次数高于四次的一般代数方程有没有求根公式呢？也就是能不能利用系数把解表示出来呢？
对于十六世纪的代数学而言，解三次和四次方程就是最大的难题，这一问题最终由意大利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。他们解四次方程的思想是通过变量替换获得一个三次方程，通过解这个三次方程就能获得原四次方程的解，于是很多数学家都想通过模仿这一方法来获得高次方程的根式解。欧拉，高斯，拉格朗日这样当时最伟大的数学家都做过尝试，但最终都失败了。拉格朗日甚至发表了长篇大论，详细分析了三四次方程的解法，指出这种方法不可能适用于高次方程，最后拉格朗日惊叹：“高次方程的根式解是不可能解决的数学问题之一，这是在向人类的智慧挑战！”
在拉格朗日之后，意大利数学家鲁菲尼开始猜测高次方程没有根式解，但他终其一生也没能取得突破，只是得到了猜测：
如果方程有根式解，那么这一根式必定是方程的根和单位根的有理多项式。
阿贝尔
第一个真正取得突破的数学家是来自挪威的年轻人阿贝尔（1802~1829），他发展了拉格朗日关于“根的置换”的数学思想，并且提出了“域”和“不可约多项式”的概念。利用自己的理论，阿贝尔修正了鲁菲尼的猜测，并最终严格证明了：
如果一个方程有根式解，则这个表达式中的每一个根式都是方程的根和某些单位根的有理函数。
利用这个重要的结论，阿贝尔最终证明了高于四次的一般方程没有根式解！不仅如此，阿贝尔还成功构造出了任意次数的代数可解的特殊方程，但他还是遗留了一个问题，那就是如何判断一个给定的方程是否根式可解，例如高斯曾经证明过方程X^p－1=0有根式解，其中p为素数。但天妒英才，阿贝尔在仅仅27岁之时，便因贫困交加而抱憾离世。
伽罗瓦与伽罗瓦理论
所幸的是，在阿贝尔之后，法国天才数学家伽罗瓦（1811~1832）继承了他的思想，并进一步发展了相关理论，特别地，伽罗瓦深入研究了置换群论，彻底弄清了方程与根之间的关系，并最终形成了如今强大的伽罗瓦理论。伽罗瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿贝尔等前辈的启发下完成的，他创造性地引入了置换群、子群和正规子群等群论的概念，这些概念已经成为代数学中最重要和最基本的东西。
伽罗瓦利用置换群来描述方程根之间的对称性，这样的群后来被称作“伽罗瓦群”，进而他得到了判断方程是否根式可解的基本定理：
一个方程根式可解的充要条件为：方程的伽罗瓦群为可解群。
特别地，高于四次的方程不可根式解这一结论成为了伽罗瓦理论的直接推论。这是因为n次方程的n个根组成的置换群是对称群Sn，这个对称群的极大正规子群是交错群An, 但当n>4时，An是非交换的单群，因而其不是可解群，进而Sn不是可解群，故最终得到高次方程不可根式解的结论。至此，伽罗瓦彻底解决了这一几百年悬而未决的数学难题。在此之前，阿贝尔已经得到了这一结论，不过由于他没有太多群的概念，尽管创造性地使用了“域”，但还是致使证明非常冗杂而难以推广，这也是为什么阿贝尔无法对对一般方程根式可解性进行判断的原因所在。
以如今的眼光来看，“群论”无疑是解决这一问题的灵魂，而伽罗瓦就是这一理论的缔造者和开拓者。“群”的概念实际上在拉格朗日时代就有了，但拉格朗日绝对没有意识到方程根的“群”会和方程本身产生如此深刻的联系。伽罗瓦的天才之处正在于，他通过群的思想来细致描述域的特征，也就是建立了伽罗瓦群的子群与扩域的中间域之间的一一对应，从而把问题完全转化成为了群的理论。如今，群论的思想早已渗透到了各种各样的学科之中，成为了强大的数学工具。
更令人瞠目结舌当是，完成这一壮举时伽罗瓦还不到22 岁！这完全是亘古未有的数学奇迹。伽罗瓦这样的绝顶数学天才在整个人类历史上也是屈指可数的，但非常可惜的是，伽罗瓦和阿贝尔一样英年早逝 ，在22 岁的时候，伽罗瓦因卷入一场决斗而丧命，在此前一晚，他奋笔疾书，这才致使他伟大的思想不至于永远埋没。
伽罗瓦手稿
前面我们对伽罗瓦理论作了一个非常祖略的简介，但伽罗瓦理论看起来仍然十分抽象，接下来就结合一些具体例子来看看这一理论到底有多强大。
尺规作图是非常古老的几何问题，它要求我们仅仅利用圆规和无刻度直尺来完成一些操作，例如平分某个特定的角度，作出已知直线的垂线等等。但看起来如此简单的尺规作图却产生了一些困惑数学家长达千年的难题，其中最著名的就是正多边形的作图问题和“三大作图难题”。
正多边形的作图问题
高斯误把老师留下的千年难题当做作业，并且通宵完成了的故事相信大家都有所耳闻，而高斯所解决的这个问题就是只利用尺规作出了正十七形，这也是他一生的得意之作，在高斯去世后，他的墓碑上就刻有一个正十七边形。正三边形和四边形是很容易尺规作图的，但边数更大时，这就变成了一个复杂的问题，而且一个更本质的问题是：哪些正多边形是可以尺规作图的？
正十七边形的作法
利用伽罗瓦理论，可以给出一个相对完满的结论。首先一个作图问题可以归结为一个代数方程，作图的可行性等价于方程是否可以利用平方根表达出来，而由伽罗瓦理论表明：
方程可以利用平方根求解的充要条件为伽罗瓦群的阶为2的方幂。
于是我们得到：
边数为素数p的正多边形可以尺规作图的充要条件为p的形式为2^（2^n+1），其中n为非负整数。
那么我们可以看出，当p=3，5,17,65……时，可以作出相应的正p边形，而伟大的高斯仅仅是具体实现了正十七边形的情况。
三大作图难题
接下来我们再来看“三大作图难题”的情形，它们分别是：
1.立方倍积问题， 即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
2.化圆为方问题， 即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。
3.三等分角问题， 即三等分一个给定的任意角。
对于这三个问题能否利用尺规完成，数学界探索了将近两千年。由解析几何的知识，直线和圆的方程最多只是二次的，因此尺规所能作的只是给定量经加减乘除和开平方运算后的量，也就是说，按照伽罗瓦理论，已知量满足的方程有解的伽罗瓦扩域最多是二次的。
其中化圆为方问题等价于能否作出一条直线，使得它的长度等于给定半径的圆的周长。德国数学家林德曼在1882年证明了π的超越性，也就是π不是任何有理系数方程的根，那么利用伽罗瓦理论就知道，长度为π的直线是不可作的，于是化圆为方问题得到彻底解决。
再来看立方倍积问题，不妨设已知立方体边长为1，那么所求立方体的边长为方程x^3-2=0的解，此方程在有理数域上无解，而有解的伽罗瓦扩域是3次扩域，故由伽罗瓦理论，此方程无平方根式解，那么当然是尺规作图无法完成的。
而最后的三等分角稍微复杂一些。首先我们有三倍角的余弦公式：
以角度α=60度为例，令x=cosα，得方程8x^3-6x-1=0,它在有理数域上无解，有解的伽罗瓦扩域也是三次的，因而60度无法利用尺规三等分。但这个问题并不像前两个那样是完全否定的，例如当α=90度时，它所满足的方程有解的扩域次数就是符合我们要求的，因而直角可以三等分，一个简单的作法如下图：
至此，利用伽罗瓦理论，让无数数学家望而生畏两千多年的三大作图难题得到彻底解决，然而这仅仅是伽罗瓦理论的一个简单应用而已！阿贝尔和伽罗瓦都只活了二十多岁，但他们的天才，他们的成就，却已经足足影响甚至是决定了今后两百年代数学的发展。伽罗瓦理论无疑是非常伟大的，但更伟大的是它背后的这些数学家们。