金融数学(Financial Mathematics)
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金融数学又称分析金融学、数理金融学、数学金融学，是20世纪80年代末、90年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。金融数学主要运用现代数学理论和方法(如:随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析、数学规划、现代计算方法等)对金融(除银行功能之外,还包括投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具和市场)的理论和实践进行数量的分析研究。其核心问题是不确定条件下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。套利,最优和均衡是其中三个主要概念。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估(如实物期权)以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。
金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶的博士论文《投机的理论》,这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖，买者看涨、卖者看跌，其价格的波动是布朗运动其统计分布是正态分布。然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。20世纪50年代初，萨缪尔森通过统计学家萨维奇重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。那年，25岁的马尔柯维茨发表了他的博士论文，提出了资产组合选择的均值方差理论。它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述均值方差理论的主要思想。稍后，夏普和林特纳进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了资本资产定价模型(简称CAPM),紧接着米勒提出了公司财务理论（MM理论）引发了第一次“华尔街革命”，是金融数学的开端。马尔柯维茨和夏普也因他们金融数学中的开创性贡献而获得1990年诺贝尔经济学奖。
1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，以及稍后，莫顿对该公式的发展和深化，期权定价公式给金融交易者和银行家在衍生金融资产的交易中带来了便利，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”。
两次“革命”避开了一般经济均衡的理论框架，形成了一门新兴的交叉学科，即金融数学。马尔科维茨夏普理论和布莱克一修斯公式一起构成了蓬勃发展的新学科——金融数学的主要内容，同时也是研究新型衍生证券设计的新学科——金融工程的理论基础，从而使这两次革命的先驱者分别在1990年和1997年获得了诺贝尔经济学奖。美国经济学家罗伯特·恩格尔和英国经济学家克莱夫·格兰杰对时间序列理论在经济和金融的研究中取得重要成果，也于2003年获得诺贝尔经济学奖，可以认为这是金融数学的研究第三次获得诺贝尔经济学奖。金融数学这门新兴的交叉学科已经成为国际金融界的一枝奇葩。
在现代金融数学理论中,各种各样的金融经济学模型占据着中心地位。其中至今仍有重大影响的成果有:有效率的市场理论、证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价方程和资产结构理论等。
1.有效的市场理论
市场的有效性这一概念起源于本世纪法国人Bachelier的研究,他的贡献是很大的,但是他的工作到近20年才日益被人认识到。他首次运用布朗运动模型来导出期权公式是在1900年,市场有效性的起源也正是在那个时候。然而市场有效性与信息相联系,确实是近几十年来的工作。Fama指出价格完全反映了可以使用的信息时,这个市场才能被称为是有效的;把一些信息进行交易时并不能产生经济效益,那么市场对这些信息就是有效的。但是市场是有套还是无套,是高效还是低效,不是非此即彼的问题,而是程度问题。
有效的市场假设一直是激烈争论的问题之一,学者们进行了无数次的理论研究和实证考察,对有效的市场理论的逻辑基础提出疑义:一方面市场的有效性是投机和套利的产物,而投机和套利都是有成本的活动;另一方面,因为市场是有效的,所以投机和套利是得不到回报的,这些活动就会停止,而一旦停止了投机和套利活动,市场又怎么能继续有效呢?无疑,投机和套利活动使得价格更为有效.正是这一矛盾统一体的不断变化,才使市场呈现出统计上的周期性变化。
2.证券组合理论
证券金融市场的风险管理是个永恒的话题,投资者都想寻求收益回报,但又必须面对各种各样的可能损失,市场到底存在哪些风险,如何确定风险的大小,如何才能实现收益最大化和风险最小化,历来都是人们关注的焦点和难点。人们发现,投资者手中持有各种不同风险的证券即投资组合,可以减轻各种风险带来的损失。自从1952年美国学者马克维茨运用概率论和规划论的方法创立证券组合理论以来,市场风险的神秘色彩逐渐淡化,不再变得那么可怕和不可驾驭。
马克维茨组合理论的立足点是全面考虑期望收益最大和不确定性(即风险)最小。它通过总结投资损失的概率分布和可能收益的偏差程度(即统计学上的方差),发现投资者应该同时按适当比例购买各种证券而不是一种证券,进行分散化投资,其收益才尽可能是确定的.通过数量分析得出的这种结论,迎合了投资者规避风险的需要。随着量化研究的不断深入,组合理论及其实际运用方法越来越完善,成为现代投资学中的交流工具。但马克维茨组合理论中的许多假设条件无法满足,使其在现实中失效。为了克服这一困难,后来发展了基于神经网络的证券优化算法。
3.资本资产定价模型(CAPM)
马克维茨组合理论解决了理论投资者的最优投资决策问题——如何确定投资比例.进一步要问:在资本市场达到均衡时,或所有投资者的投资行为均与现代组合理论描述的一致时,资本的收益如何确定,资产的收益如何决定,资产收益的风险如何测定,以及任意一种资产的期望收益与风险之间的函数关系是什么?夏普、林特纳和英辛在一系列理想假设条件基础下提出了一种新的选择证券组合的方法,即资本资产定价模型,克服了马克维茨模型选择证券组合需要大量而复杂的计算的不足.CAPM的意义之一是,他建立了证券收益和风险的关系,揭示了证券风险报酬的内部结构,即风险报酬是影响证券收益的风险贴水的线性组合。而各相关因素的风险贴水是证券市场对风险的报酬,它们只与各个影响因素有关,与单个证券无关.CAPM建立了单个证券的收益市场资产组合和收益之间的数量关系.CAPM的另一个重要意义在于它把证券的风险分成了系统风险和非系统风险。
资本资产定价模型一直是大量的实证研究的基础。总的来讲,这些实证研究表明,资本资产定价模型可为金融市场的收益结构提供相当好的初步近似。
4.套利定价理论(APT)
资本资产定价模型刻画了在资本市场达到均衡时资产收益的决定机制,但他基于众多的假设,且其中的一些假设常与现实不符;在检验CAPM时,难以得到真正的市场组合.更重要的是一些经验结果与CAPM相悖.有些现象如小公司现象很难用CAPM来解释,这样就更激励人们去建立新的资本市场均衡理论.1970年罗斯提出了一种新的资本资产均衡模型——套利定价模型。该模型认为风险可由多个因素产生,不仅仅是一个市场因素.尤其是他对风险态度的假设比CAPM更为宽松,因此也更为接近现实.APT的核心是假设不存在套利机会.套利机会是指在无风险又无资本的情况下就可以从投资中获取利益的机会.在这种情况下,证券的预期收益与风险因素呈现近似线性关系.因此可以说APT在更加广泛的意义上建立了证券收益与宏观经济中其他因素的联系,为证券走势分析提供了比CAPM更好的拟合。
5.期权定价模型
1973年,布莱克和斯科尔斯发表了题为《期权价格和公司负债》一文,提出了有始以来第一个期权定价模型,在学术界和实务界引起了强烈反响.在那篇突破性的论文中,他们成功求解随机微分方程,利用市场的套利条件,导出到期月以前的期权价格的精确公式。
布莱克和斯科尔斯的期权定价模型的推导建立在6个假设基础上:没有交易成本、税收限制;无风险收益率是常量;股票不付股息;标的资产的随机价格服从几何布朗运动;对于贸易市场是连续开放的;期权是欧式的.该模型表明:期权的价格是期权商品市场价格、商品市场价格的波动、期权执行价格距到期日时间的长短以及安全利息率的函数。自从布莱克和斯科尔斯的论文发表以后,由默顿、考克斯、鲁宾斯坦等一些学者相继对这一理论进行了重要的推广并得到广泛的应用。期权定价模型可用来制定各种金融衍生产品的价格,是各种衍生产品估价的有效工具。期权定价模型为西方国家金融创新提供了有利的指导,是现代金融理论的主要内容之一。
6.资产结构理论
在现代金融理论中,公司的资产结构理论(也称为MM定理)与有效市场理论和资产组合理论几乎是在同一时期发展起来的具有同等重要地位的成果.在这个定理中,假设公司的投资政策和金融政策是相互独立的,银行利率等于债券利率,个人借贷和企业借贷是充分替代的;没有企业和个人所得税及破产风险;企业和投资者具有同等的投资机会及边际成本和机会成本;资本市场充分有效运行,则公司的资本结构与公司的市场价值无关,亦即企业的资本结构选择不影响公司的市场价值.MM定理的条件是非常苛刻的,正是因为这些假设抽象掉了大量的现实东西,从而揭示了企业金融决策中最本质的东西——企业经营者和投资者行为及其相互作用。该定理公开发表以后,一些经济学家又对这一定理采用不同的方法从不同的角度作了进一步证明。其中最著名的有Hamda用资本定价模型进行了再证明,还有Stiglize用一般均衡理论作了再证明,结论都与MM定理是相一致的。
证券投资的直接目的是获取收益,避免损失.而投资者在进行投资之前必须根据事先掌握的信息对各种证券进行分析预测,这实质上是一个证券投资决策问题.关于证券投资决策的研究通常可分为两类:第一类是选择哪一些证券及其数量多少的问题,即静态投资组合问题,其具有奠基性的理论是前面提到的马克维茨组合投资理论,具有代表性的方法有线性规划方法、二次规划方法和神经网络方法等;第二类是在什么时间买卖多少证券的问题,即动态随机控制问题.这类问题是近几年研究的热点之一,所使用的研究方法主要有随机最优控制方法、H控制方法和微分对策方法。自从Pratt等经济学家引入风险规避系数概念以来,研究带有风险规避的投资决策尚不多,而现实中的投资者大部分是风险规避者,只是风险规避程度不同而已,因此,研究风险规避投资者的行为更具有特别重要的意义。
（一）鞅理论
现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在市场是有效的假定下，证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律，而且可以提供一套有效的算法，求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。
利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位，但在国内还是一个空白。
（二）最优停时理论
最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域，他的蓬勃发展是60年代以后的事。近几年，在国内也有一些学者开始热心这一领域的研究，而且取得了可喜的成果。运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题，给出了具有二个风险证券的投资决策问题一种简化算法。
（三）随机最优控制理论
随机最优控制理论是在上世纪60年代末在控制理论中应用布尔曼的最优化原理,并结合测度论和泛函分析方法发展起来的解决随机问题的理论方法。国外的研究者很快就把随机最优控制理论运用到相关的研究中来。从上世纪70年代初开始,默顿运用该理论对连续时间最优消费投资问题进行研究。脉冲最优控制理论是在克服连续最优控制理论不足的背景下产生的,这是因为连续型的假设下交易非但有界而且还是连续变化的,这与证券投资的实际环境存在很大差距。在我国,彭实戈在倒向随机微分方程上获得了突破性研究,直到今天还在这一方面居于国际前沿。
（四）微分对策理论
金融市场的实际环境并不符合稳态假设,当出现异常波动时,证券价格并不符合几何布朗运动.此时,用随机动态模型研究投资组合问题不论从方法上还是从实际上来说都存在着很大的偏差.运用微分对策理论不仅可以放宽对市场稳态的假设,还可以把不确定性扰动做为敌对方,针对最差的一方加以优化,从而得到“鲁棒性”很强的决策.同时,求解微分对策的布尔曼方程是一阶偏微分方程,比求解随机最优控制下的二阶偏微分方程简单。可见,运用微分对策理论研究金融问题前景很广阔,而且研究重复对策、随机对策、多人对策理论在投资决策问题中更是值得重视的研究课题。
(五)其他智能化方法及实证方法
信息技术的迅速发展为金融数学的研究带来了新的方法.遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络、小波分析等计算方法和金融学传统方法结合起来,在风险控制和投资决策领域均取得了很好的成果,国内的研究比如谭华、谢赤等。实证研究就是从金融市场现实中取得数据,分析数据并建模型,然后揭示数据背后隐含的规律,最后返回数据和现实中检验结论的正确性.当今的研究越来越趋向实证研究,结论的好与坏在实际的检验下才能得到最终的验证。
历史上对金融经济描述的模型主要有两类。一类是牛顿的决定论模型,即给定初始条件或状态时金融经济的运行行为完全确定。一类是布朗的随机游走模型。这两种模型的金融状态可以说是相互对立.近30年来,金融学界分成两派:一派是技术分析型学者,相信市场遵循某种规律而循环;另一派是定量分析型学者,认为市场不存在周期性循环。最近,学者们运用从物理学中开发出来的方法分析非线性系统,认识到真实的情况应该是二者兼而有之.这样,金融数学界现在至少面临4个问题亟待解决.第一,对金融经济的变与动的直觉三性,即随机性、模糊性、混沌性进行综合分析,来确定从彼到此的过渡条件、转换机制、演变过程、本质特征、产生结果以及人们所采用的相应经济对策,尤其是货币政策.第二,对以货币信用为核心的货币需求量、货币供给量、金融资金流向与流量进行综合分析,给出货币均衡和非均衡的合理界定和合理模型,为改善社会总量平衡关系对财政、金融、物质、外汇的四大平衡提供依据.第三,对利率、汇率、保率甚至税率和物价综合指数进行综合分析,为制定合理的三率体系提供符合实际的模型.第四,对生产力要素的选择或部门资源配置,综合金融经济指标为研究对象的三观(微观、中观、宏观)进行综合分析,以便将其成果更充分、更广泛地运用于金融经济领域。
（一）新问题越来越多
金融数学模型都是在很多假设的条件下才能成立,这些假设有些与客观现实有一定差距甚至抵触,因而解决这类问题就不理想,范围也十分狭窄,需要在数学上改进和发展。世界各国金融背景和管理模式各异,需要大量建立符合自己国情的金融模型和分析方法,例如CAPM适合欧式期权不适合美式期权。即使假设比较合理,由于金融环境和社会需求不断发生变化以及创新运动的发展,为金融理论和金融数学提出了越来越多的问题,要求我们不断进行探索。
（二）实证研究成为主要方向
所谓实证研究主要是强调了数据的重要性,即从金融市场现实中取得数据,分析数据并建立数学模型,然后揭示数据背后隐含的规律,最后返回数据和现实中检验结论的正确性。如果离开实际数据的支持和检验,单纯从概念到概念(即文科研究人员习惯的定性分析),或者单纯从模型到模型(即理科研究人员习惯的逻辑推理),这很难深刻地、客观地揭示金融市场的发展规律。
（三）金融数学的方法展望
金融系统由于非线性、不确定性而成为复杂系统,为金融数学提出了较高的要求,尤其金融市场的特性:波动性、突发事件、市场不完全、信息不对称等成为金融数学当前面临的重要课题。金融市场上的波动现象一般可归结为随机的问题,像几何布朗运动,然后进行随机分析。但是金融市场多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动。近些年来的最新研究成果自回归条件异方差模型可以较好的派上用场。
突发事件是小概率事件,一般的随机分析不能解释重大的金融震荡,例如1987年“黑色星期一”西方的金融崩溃。分形理论可以解释股票如何疯长和暴跌,起源于海岸线形状和宇宙星系描述的分形理论是本世纪最杰出的数学成就之一。另外还有突变理论和冲击理论也在金融理论中得到应用。不完全市场是指市场受到各种限制而不完备,如不允许卖空买空股票等。解决这类问题,除了Duffie的不完全市场的一般均衡理论之外,Karatzas等人引入的鞅理论能够很好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题,目前国外基于鞅方法的定价理论在金融理论中占主导地位。信息不对称表现为经济人掌握的信息不一样。信息不对称条件下的相互对策在数学上处理是相当困难的。但是微分对策、重复对策、随机对策、多人对策理论在金融研究中得到深入的探索和发展,有着较好的发展前程。金融数学建立在金融学和数学之上,而统计和计算机已是它须臾不可离开的主要工具。
金融与数学的结合越来越引起国际金融界和数学界的关注。金融数学也已经开始在我国得到了越来越广泛的重视。所以更应鼓励数学系学生去考经济金融研究生；增加经济和金融专业数学内容(而不是减少)，鼓励专家学者“下海”，以形成高素质的新型企业家、银行家集团，为我国的金融体制改革，以及我国金融市场与国际金融市场接轨、参与国际金融市场竞争，做出应有的贡献。