数学规划
- 数学规划(Mathematical Programming)
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什么是数学规划[1]
数学规划是运筹学的一个重要分支，也是现代数学的一门重要学科。其基本思想出现在19世纪初，并由美国哈佛大学的Robert Dorfman于20世纪40年代末提出。数学规划的研究对象是数值最优化问题，这是一类古老的数学问题。古典的微分法已可以用来解决某些简单的非线性最优化问题。直到20世纪40年代以后，由于大量实际问题的需要和电子计算机的高速发展，数学规划才得以迅速发展起来，并成为一门十分活跃的新兴学科。今天，数学规划的应用极为普遍，它的理论和方法已经渗透到自然科学、社会科学和工程技术中。根据问题的性质和处理方法的差异，数学规划可分成许多不同的分支，如线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随机规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式与互补问题等。
数学规划的模型[1]
数学规划模型的一般形式是：
optf(X)
上式中，
是未知向量，称为决策变量；f(X)称为目标函数；gi(X)与hj(X)称为约束函数。f(X)、gi(X)与hj(X)均为X的数量函数。
符号opt表示对函数f(X)求最优化结果。如果要求f(X)最大，则optf(X)记为maxf(X)。如果要求f(X)最小，则optf(X)记为minf(X)。
符号s.t.为subject to的缩写，意思是受约束于或受限于m个不等式约束条件
，以及l个等式约束条件
。
于是数学规划问题可以表述为：求满足约束条件的x * ，使f(X * )成为最优，而将X * 称为数学规划问题的最优解，将f * = f(X * )称为最优值。
数学规划的研究[2]
数学规划论包括丰富和具体的研究方向：线性规划、非线性规划、对偶规划、几何规划、整数规划、动态规划及多目标规划等。数学规划论在社会和经济的管理和计划、军事的指挥和实施、工业产品和系统的设计与运行等诸多领域，有着十分广泛的应用。
Schmit于1960年提出把数学规划同有限元方法相结合，使结构优化设计学科的发展正式启动，逐步形成了结构优化的规划法分支，后来他同Farshi及以后他又同Fluery等在结构优化设计中的规划法中吸收了准则法的优点，根据力学特性和工程直觉，他们提出了建立近似显式模型的近似概念法，包括很多行之有效的措施，如近似显式逼近、设计变量连接、有效约束粗选、倒数变量的引入、采用对偶求解技术等，使优化效率得到了显著的改善。许多优化模型因此可以处理成线性规划问题、二次规划问题及对偶规划问题，借助于数学规划中成熟的算法，可以对大多数实际工程问题进行求解。
工程优化问题要求优化算法具有可靠性、通用性、有效性、健壮性、准确性和方便性，根据这些特性的要求，我们通过对于智能结构最优控制的研究体会到，Schmit等对由结构优化设计建立优化模型和采用优化算法进行求解所做的工作完全适用于智能结构最优控制的建模与求解。
案例一：生产安排问题[3]
某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要的原材料、能源消耗、劳动力及所获利润见表。
| 品种 | 原材料/kg | 能源消耗/百元 | 劳动力/人 | 利润/千元 |
| 甲 | 2 | 1 | 4 | 5 |
| 乙 | 3 | 6 | 2 | 6 |
现有库存原材料1400kg，能源消耗总额不超过2400百元，劳动力满员为2000人，试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件)，使获得的利润最大，并求出最大利润。
模型建立
设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S，则此问题的数学模型为
maxS = 5x + 6y
上述数学模型称为数学规划模型，其中x、y称为决策变量，函数S=5x+6y称为目标函数，这些不等式组构成的限制条件称为约束条件，记为s.t.。
决策变量、目标函数和约束条件是数学规划模型的三个要素，若目标函数和约束条件均为线性的数学规划问题称为线性规划，否则称为非线性规划。