有限单元法
有限单元法(Finite Element Method)
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什么是有限单元法[1]
有限单元法是指将连续的介质(如零件、结构等)看作由在有限个节点处联接起来的有限个小块(称为元素)所组成，然后对每个元素通过取定的插值函数，将其内部每一点的位移(或应力)用元素节点的位移(或应力)来表示，随后根据介质整体的协调关系，建立包括所有节点的这些未知量的联立方程组，最后用计算机求解该联立方程组，以获得所需的解答。当元素足够“小”时，可以得到十分精确的解答。
有限单元法的起源[2]
1952年，波音公司Jon Turner领导一个项目小组分析三角翼强度时，发现采用小的三角形组装机翼，可以准确地计算出机翼变形。他称这种方法为直接刚度法，并发表了著名的学术论文——Turner MJ，Clough RW，Martin HC，Topp LJ．Stiffness and deflec—tion analysis ofcomplex structures．J Aero Sci 1956；23：805-23，这是有限单元法的雏形。1965年“有限元”这个名词第一次出现。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，使得实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。
理论解析方法提供了固体、流体、热、电磁领域的完美求解方程和边界条件，但对于复杂形体的不能得到解析解。复杂形体是简单形体堆积的结果，而简单的形体总是可以得到解析结果，比如方块或四面体。有限元方法是一种模拟在确定的荷载条件下的结构响应的方法，就是把复杂形体用大量简单形体堆积，先处理简单的形体，再推演处理复杂的形体，使得复杂问题简单化。每一个简单形体称为一个单元，单元越小，堆积出来的形状越接近真实形体。用有限元方法解决问题时首先将复杂的形体划分成网格，每个网格就是一个单元，网格分得越细，计算结果越精确。
有限元方法在工程上得到了广泛应用，经历了几十年的发展历史，理论和算法都日趋完善。随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径。现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电气、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。随后，经过数学家从理论上的完善，使有限元法不断发展，并逐渐应用于求解航空、航天、机械、电子、船舶、土木等众多的工程问题。
有限单元法的优缺点[3]
1．有限单元法的优点
(1)因为单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的形状。所以，有限单元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。
(2)有限单元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使得其能够广泛地应用于各种场合。
(3)边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD软件中导入创建好的模型。
(4)有限单元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。
(5)有限单元法很容易处理非均匀连续介质。
(6)可以求解非线性问题。
(7)可以进行耦合场分析。
(8)有限单元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
2．有限单元法的缺点
(1)有限单元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
(2)对无限求解域问题没有较好的处理方法。
(3)尽管现有的有限元软件多数都使用了网格自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网格密度等都要完全依赖于使用者的经验。在实际应用中，经常采用网格密度加大一倍的办法，然后比较两次分析的结果来考察分析的精度，这势必进一步增大了计算资源的耗费量。
有限单元法的分类[4]
在有限单元法的算式推导中并不一定要取节点位移为基本未知量，也可以取节点力为未知量。由于所取未知量的不同，有限单元法可以分为：
位移法——以节点位移作为基本未知量；
力法——以节点力作为基本未知量；
混合法——以一部分节点位移，一部分节点的力作为基本未知量。
由于位移法的基本未知量为位移分量，比力法的基本未知量应力分量的数量少，使用经典力学的基本方程就可以求解，而且位移法得出的方程组和计算程序也简单，故得到广泛应用。
从公式推导方法来看，有限单元法也可以分为三类：
直接法——把各个单元的节点力与节点位移的关系式，按照一定的次序进行迭加，而求出整个物体的方程组的方法，称为直接法。这种方法比较直观，易于理解。但仅适用于求解比较简单的问题。直接刚度法就是其典型代表。
变分法——应用变分原理，把有限单元法归结为求泛函的极值问题。对于固体力学来讲，就是应用最小能量原理来求整个物体的方程组。变分原理的应用，使有限单元法建立在更加坚实的数学基础上，并扩大了其应用范围。
加权余数法——即迦辽金法。这种方法可以直接从基本微分方程导出有限元列式，而不需要利用泛函的概念。因此，对于不存在泛函的工程领域也可采用，从而进一步扩大了有限单元法的应用范围。
有限单元法的应用[2]
有限单元法是利用电子计算机进行数值模拟的方法。有限元分析技术可以实现：
(1)发现产品潜在的问题及先天缺陷，创造品质优异的产品。
(2)进行风险评估与预测，提高产品和工程的可靠性，降低风险。
(3)经过对比分析计算，采用优化设计方案，降低产品成本。
(4)缩短产品投向市场的时间。
(5)减少物理试验次数，对大量情况进行快速有效模拟试验分析，从而减少试验经费。
(6)模拟不适合在原型上进行试验的设计，例如器官移植、人造膝盖等。
(7)模拟无法看到或重现的场景，如事故分析及调查。
有限单元法的常用领域[5]
表1 有限单元法常用领域一览表
| 应用领域 | 场变量 | 作用量 | 性质矩阵 |
| 结构力学 | 位移或／和应力 | 机械荷载、施加的位移 | 弹性或弹塑性刚度 |
| 热弹性力学 | 温度、位移或应力 | 机械荷载、施加的位移、温度 | 弹性或弹塑性刚度，膨胀系数，热传导系数 |
| 黏弹性力学 | 温度或应力 | 机械荷载、施加的位移、温度 | 松弛刚度 |
| 热传导 | 温度 | 热流量、边界温度 | 热传导系数、比热 |
| 流体力学 | 位移、速度或位势 | 速度、应力、压强、重力 | 黏性 |
| 流动弹性力学 | 位移、速度、位势 | 机械荷载、位移 | 质量、刚度、黏性 |
| 扩散、对流 | 浓度函数 | 浓度 | 弥散系数、孔隙率 |
有限单元法的分析步骤[5]
(1)连续体的离散化。也就是将给定的物理系统分割成等价的有限单元系统。一维结构的有限单元为线段，二维连续体的有限单元为三角形、四边形，三维连续体的有限单元可以是四面体、长方体或六面体，不同类型的单元有其不同的优缺点。根据实际应用，还可以发展更多的单元，不同类型单元通过不同有限元节点具体表达。需要决定单元的类型、数目、大小和排列方式，以便能够合理有效地表示给定的物理系统。
(2)选择位移模型。假设的位移函数或模型只是近似地表示了真实位移分布。通常假设位移函数为多项式，最简单情况为线性多项式。实际应用中，没有一种多项式能够与实际位移完全一致。用户所要做的是选择多项式的阶次，以使其在可以承受的计算时间内达到足够的精度。此外，还需要选择表示位移大小的参数，它们通常是节点的位移，但也有可能包括节点位移的导数。
(3)用变分原理推导单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是根据最小位能原理或者其它原理，由单元材料和几何性质导出的平衡方程系数构成的。单元刚度矩阵将节点位移和节点力联系起来，物体受到的分布力变换为节点处的等价集中力。刚度矩阵k、节点力矢量f和节点位移矢量q的平衡关系表示为线性代数方程组：kp=f
(4)集合整个离散化连续体的代数方程。也就是把各个单元的刚度矩阵集合成整个连续体的刚度矩阵，把各个单元的节点力矢量集合为总的力和载荷矢量。最常用的原则是要求节点能互相连接，即要求所有与某节点相关联的单元在该节点处的位移相同。但是最近研究表明：该原则在某些情况下并不是必需的。总刚度矩阵K、总载荷矢量F以及整个物体的节点位移矢量Q之间构成整体平衡，其联立方程为：KQ=F
这样得出物理系统的基本方程后，还需要考虑其边界条件或初始条件，才能够使得整个方程封闭。如何引入边界条件依赖于对系统的理解。
(5)求解位移矢量。即求解上述代数方程，这种方程可能简单，也可能很复杂，比如对非线性问题，在求解的每一步都要修正刚度矩阵和载荷矢量。
(6)由节点位移计算出单元的应变和应力。视具体情况，可能还需要计算出其他一些导出量。
在实际工作中，上述有限元分析只是在计算机软件处理中的步骤(有限元程序)；要完成工程分析，还需要更多的前处理和后处理，完整的有限元分析流程图如图1所示。
有限元法在现代设计过程中的作用[4]
1．应力和变形的计算，有利于提高产品的安全可靠性
传统设计方法中，一般采用安全系数法来保证结构使用的安全性，这样做的原因有三个：设计时对象的真实载荷无法准确把握；由于问题的复杂性，传统设计解析法无法对给定载荷条件下的应力分布及水平进行准确计算；真实结构的材料物理性能可能跟设计计算值有出入。传统安全系数法的不足在于，一方面计算误差大，造成浪费；另一方面又不能确保安全。
有限单元法的最初应用，主要解决的是给定载荷条件下求取结构的应力场及应力水平的问题。显然，有限元法的应用，一方面消除了设计过程中的一个不确定环节，另一方面，在准确把握载荷与应力应变关系的基础上，又可以适当地采用小的安全系数来进行设计，从而有效降低成本。
2．产品性能与结构优化仿真分析，缩短新产品开发周期与研制费用
一般地，新产品的开发过程，都有样机试制及样机性能实验环节，而且需要进行多次试制才能找到最佳方案。而采用有限单元法进行产品性能、结构优化仿真研究并与物理仿真相结合的方法则可有效减少性能测试样品的数量以及方案寻优的次数，从而有效缩短新产品开发周期与研制费用。如汽车的碰撞性能模拟等。
3．工程问题的理论性研究，为产品的设计与产品使用提供理论依据
有限单元法适用于各种物理问题仿真的强大功能，使其成为到目前为止工程问题理论研究最强大的工具之一，也是现代设计过程及产品使用获得理论依据的最重要的手段之一。例如，轧钢过程的仿真研究，一方面是轧机设计过程载荷及工艺参数确定的基础，另一方面又是设备运行的工艺参数优化的基础。
边界单元法与有限单元法的比较[6]
力学问题的求解可归结为一组偏微分方程的定解问题。由于数学上的困难，只有很少量简单的问题才能找到问题的解析解，而实际工程问题往往又比较复杂，而且多数是非线性问题，这使得数值计算方法非常重要。
目前，工程问题的力学分析使用最广泛的数值计算方法是有限单元法。这一方面归因于有限单元法理论完备，方法本身对各类工程问题有广泛的适用性；另一方面是基于有限单元法的大型商业分析软件开发比较成熟。这两个方面的推动使得有限单元方法成为各行各业分析复杂工程问题的主要手段之一。作为力学专业的学生，掌握有限单元法的理论基础和算法原理，熟练使用至少一款主流有限元分析软件应该是最基本的要求。
然而，任何一种方法都有其优势也有局限性。有限元法是基于求解域内部网格的一种数值方法。这一特点使其在处理一些问题时也遇到困难。例如，在金属成型、优化计算、裂纹扩展以及渗流等动边界问题中，网格会产生严重畸变、重叠等问题，影响求解精度甚至无法计算。另外，在处理地下工程、地基基础等无限、半无限域问题时，有限元法需要人为给定无扰动有限边界，这对问题的建模和解的唯一性带来一定程度的不确定性。
边界单元法的主要特点可概括为：(1)只在求解域的边界划分网格；(2)在求解域内采用基本解，使得域内场方程得到精确满足。这些特点使得边界单元法与有限单元法相比具有以下优势。
(1)由于只需在域边界离散，使得问题的维数下降，降低了求解规模。例如，对一个三维弹性力学问题，只需在求解域的表面划分二维单元；对平面问题，只需在域边界划分一维线单元。因此，边界单元法的建模、数据准备以及计算工作量与有限单元法相比大大降低。
(2)由于只在边界离散，处理动边界问题非常方便。例如，在裂纹扩展问题模拟中，有限单元法需要在裂纹的每个扩展步生成新的裂纹边界面、调整裂纹尖端附近的网格，而这项工作往往是非常困难的。相反，边界单元法由于可以事先在裂纹扩展路径上划分好单元，在每一扩展步只需对这些裂纹单元的位置进行修正，而无需大规模调整网格。
(3)由于采用基本解，控制方程在域内精确满足，使得近似计算的误差实际上只发生在边界。因此，边界元法的求解精度相对较高，非常适合求解应力集中问题。
(4)由于采用基本解，非常适合求解无限、半无限域问题。这一特点使得边界元法在声场、电磁场问题分析中有比有限元法更为广泛的应用。
(5)位移解法的有限单元法以位移为基本未知量，只对位移场插值，求出位移后，对其求导得到应变，再由应力-应变关系计算应力。因此，应力场精度比位移场低。而边界单元法中，以边界上的位移和面力为未知数，两者同时单独插值，同时求解，解的精度是相同的，在计算域内点的应力时精度也不会降低。
(6)由于在边界上位移和面力同时单独插值，在处理考虑摩擦的接触问题时比有限元法方便许多。
边界单元法也存在弱点，主要表现为：
(1)采用的基本解导致奇异积分出现，使得数值计算时需要处理奇异积分。
(2)所形成的系数矩阵为非对称满阵，限制了解题规模和速度。
(3)在处理弹塑性问题等非线性问题时会出现域内积分，削弱了其只在边界离散形成的优势。
(4)对于一些非均质等问题，很难求得问题的基本解。
边界单元法是针对一些特定问题对有限单元法的有益补充。