平均指数

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平均指数(Average Index)

什么是平均指数

　　平均指数是以指数化因素的个体指数为基础，通过对个体指数的加权平均而计算的一种总指数。它是编制总指数的又一种重要形式。

平均指数的编制

　　加权算术平均指数是指在已知或能够计算个体指数的基础上采用加权算术平均法进行综合平均的一种总指数。

　　当已知数量指标的个体指数Kq，或报告期与基期的个体数量指标 $q l$ 、 $q 0$ ，以及基期的总量指标（产值或销售额） $p 0 q 0$ 并以其作为权数时；同样，已知质量指标的个体指数kp，或报告期与基期的个体价格指标 $p 1$ 、 $p 0$ 及报告期的总量指标（产值或销售额） $p 1 q 1$ 为权数时，即可分别计算数量指标的总指数及质量指标的总指数。即：

　　 $\bar{K}_q=\frac{\sum\frac{q_1}{q_0}q_0p_0}{\sum q_0p_0}=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0}$ =数量指标综合指数

　　 $\bar{K}_q$ ：为加权平均数量指标指数　　 $Kq=\frac{q_1}{q_0}$

　　由上式可知，在一定条件下，加权算术平均指数是拉氏综合指数的变形。同时只有用 $q 0 p 0$ 为权数的情况下加权，加权算术平均指数才可能与拉氏综合指数相互转换变为综合指数。如果权数不是 $P 0 q 0$ ，而使用 $p 0 q 0$ 以外的任何其它权数进行加权，加权算术平均指数就不可能等于综合指数，当然，这种变形关系也就不复存在。

　　在用拉氏综合指数公式计算商品销售量指数时，必须掌握基期和报告期各种商品的销售量及基期各种商品的价格资料。但在实践中，按基期价格与报告期销售量所计算的假定销售额（ $p 0 q l$ ）资料不易取得，而基期的销售额资料（ $p 0 q 0$ ）与各种商品的销售量个体指数却很容易取得。所以，加权算术平均指数适用于数量指标平均数指数的计算。

　　2、加权调和平均数指数

　　加权调和平均数指数是指在已知或能够计算个体指数的基础上，采用加权调和平均法进行综合平均计算的总指数。

　　与上述加权算术平均指数相对应，加权调和平均指数也有两种加权方法。而在一定条件下，加权调和平均指数是派氏综合指数的变形。因此，计算总指数必须用报告期权数加权，这样，销售量总指数、价格总指数都要用报告期销售额（ $p 1 q 1$ ）作为权数，进行加权。而加权调和平均数指数就可以变形为两个综合指数。即：

　　 $\bar{K}_p=\frac{\sum q_1p_1}{\sum\frac{1}{K}q_1p_1}=\frac{\sum q_1p_1}{\sum\frac{p_0}{p_1}q_1p_1}=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_1p_0}$ 质量指标综合指数

　　 $\bar{K}_p$ ：加权调和平均数指数，Kp个体物价指数，∵ $K=\frac{p_1}{p_0}$ ∴ $\frac{1}{K}=\frac{p_0}{p_1}$

　　由上式可知，在一定条件下，加权调和平均指数是派氏综合指数的变形，而只有用 $q l p l$ 这个权数进行加权，加权调和平均指数才有可能变形为综合指数；否则，假若要用 $q 1 p 1$ 以外的其他任何权数进行加权，这种变形关系就不复存在。

　　在用派氏综合指数公式计算商品价格指数时，必须具备报告期与基期的销售量、价格以及报告期 $p l q l$ 及 $p 0 q 1$ 的销售额资料。但在实践当中，按基期价格计算的报告期假定销售额 $p 0 q 1$ 资料不易取得。而报告期销售额 $p 1 q 1$ 是现实可以取得的资料，因此加权调和平均指数适合于质量指标平均指数的计算。

　　3、固定权数平均指数

　　固定权数平均指数是以指数化因素的个体指数为基础，使用固定权数对个体指数或类指数进行加权平均计算的一种总指数。所谓固定权数是指加权平均法计算中的权数用比重形式固定下来，在一段时间内不作变动并固定使用的权数。

　　加权平均法计算平均数的权数，既可用频数，也可用频率，其计算结果是相同的。在平均数指数计算中，其权数的两种表现都可以使用。前面介绍的就是使用频数为基期、报告期，假定其总量指标为权数计算的平均数指数。这些都需要有具体实际数值，由于资料不足，特别是假定的总量指标，缺少全面实际资料或不容易或难于及时取得具体有关频数资料。这时可以用频率即权数的比重代替实际数值为权数，使无法取得或无法确定权数具体数值时，可以进行平均指数的计算。

　　固定比重权数用W表示，固定权数平均指数计算公式有：

$\bar{K}=\frac{\sum KW}{\sum W}$ ——固定权数加权算术平均指数

$\bar{K}=\frac{\sum W}{W}$ ——固定权数加权调和平均指数

　　在我国统计实际业务中，各种物价指数常用固定权数加权平均指数编制。

平均数指数的应用

　　1．我国商品零售物价指数的编制

　　物价指数反映物价水平的变动。我国现行编制的物价指数有农副产品收购价格指数、国营商业零售价格指数、集市贸易价格指数、工农业产品综合比价指数、职工生活零用价格指数和全社会零售物价总指数等，均采用平均数指数进行编制。其中，与人民生活关系最为密切的，是全社会零售物价总指数。

　　零售物价总指数全面反映城乡市场零售物价总水平的变动情况。它反映国营商业牌价、议价和集市贸易价格的总变动，反映国家计划价格和自由市场价格的总升降水平及其对城乡人民生活水平支出和国家财政收入总的影响程度。它是编制财政计划和价格计划，制定物价政策和工资政策的重要依据。

　　我国现行的零售物价指数的编制要点有：

　　(1)指数的分类。全部零售商品分为食品(粮食、副食品、烟茶酒，其它食品)、衣着、日用杂品、文化用品、医药、燃料等六大类。大类以下分小类，小类以下分若干细类(或商品集团)。例如，在食品这一大类中，分为粮食、副食品、烟茶酒、其它食品等四小类。在粮食这一小类中，分有细粮、粗粮两个细类。在细粮这一细类中，再分有大米、面粉两个商品集团。可想而知，全社会零售商品种类成千上万，分类只能适可而止。例如，大米作为商品集团，其中包括有糯米、粳米、籼米等，各种米还有质量等级不同之分，等等，不一而足。因此，在编制指数时，只能在商品集团中选取一种或数种代表规格品作为代表。

　　(2)代表品的选择。代表规格品的选择，各地可以根据当地情况参考中央规定的《商品目录》酌情增减确定。但是应选择那些价格变动能够反映该商品集团价格变动趋势的商品作为代表品。例如规定以标准面粉作为面粉这一商品集团的代表品，大米则以中等白米为代表品。目前，物价统计报表制度的商品目录中，计算国营零售牌价指数的商品达 511种之多。

　　(3)典型地区的选择。零售物价总指数反映的是全国平均价格水平，它既包括价格上涨较多的地区，也包括上涨不多甚至下降的地区。分地区来看，大中城市、东南沿海地区及东北部分地区平均物价上涨幅度较大。因此，选择具有代表性的典型地区作为物价调查点是很重要的。据1985年的资料显示，国家统计局在全国抽选具有代表性的106个城市和77个县城作为调查点，并选择340种主要商品作为代表商品，派人到上述调查点里的6000多个各种类型的商店和典型市场，直接调查登记城乡的实际价格，取得大量的商品价格资料。

　　(4)商品价格的确定。计算国营商业零售牌价指数采用的商品价格，是按月、季、年编制的平均价格。月平均价格是将本月变价前后的价格以调价前后的天数加权算术平均计算。例如，菜市6月11日某商品价格由130元降为100元，则:

　　月平均价格 $=\frac{130\times10+100\times20}{30}=110$ (元)

　　年平均价格是将12个月的平均价格简单算术平均计算。例如，某商品1-6月每月平均价格为12元，而7～12月每月平均价格为14元，则:

　　年平均价格 $=\frac{12\times6+14\times6}{12}=13$ (元)。

　　(5)固定权数的确定。零售物价总指数是长期连续不断地进行编制和计算的。因此，其所采用的权数必须是固定权数。零售物价指数的权数，一般根据上年1-3季度消费的实际零售额和第4季度预计零售额(不包括对社会集团的消费品零售额)，并参考本年度市场变化情况加以确定。各大类的权数基本上应符合当地人民的消费构成。在确定权数时，首先确定大类的权数，其次确定小类的权数，最后确定商品的权数。各大、小类的零售额除包括指数中所选商品的零售额外，还包括未选商品的零售额。大类权数之和，大类中小类权数之和，小类中各商品集团的权数之和，均应等于100。权数一律采用整数，不要小数。每年确定一次权数，年内不变。

　　(6)基期的选择。物价指数是报告期与基期对比而得的相对数，这种对比，只有在条件相同的情况下，才能说明物价水平的变化。用来作为对比基准的时期应是经济和生产比较稳定的时期，不宜选用那些非正常因素(如战争、自然灾害等)影响较大的时期为基期。若1年度不足以作为代表，也可用几年的平均数作为基期。同时，以选择晚近时期作基期为宜，因为基期相隔太远，就难以保证指数所包含项目同质性。时间跨度过大的指数，往往夸大(偏高或偏低)价格变动的幅度。

　　2．农副产品收购价格指数的编制方法

　　(1)计算方法。农副产品收购价格指数采用加权调和平均法计算。其计算公式为：

　　 $\bar{K}=\frac{\sum P_1Q_1}{\sum\frac{1}{K}P_1Q_1}$ 　（式中 $K=\frac{P_1}{P_0}$ ）

　　通过编制农副产品收购价格指数，可以观察分析农副产品收购价格水平的变动，对农民货币收入和国家财政支出的影响，为计算和研究农产晶与工业品交换的综合比价指数提供资料，为国家制定价格政策提供依据。

　　(2)资料的搜集。农副产品收购价格指数以省(市、区)为单位编制。调查范围包括各种经济类型的商业企业及其它单位，从农村乡(镇)、村集体农业生产单位到农民个体以各种价格形式(国家定价、指导价和市场调节价)收购的粮食、经济作物、竹木材料、干鲜水果、土畜水产、药材等农副产品的价格、数量、金额等。价格资料采用分级汇总的方式，先由各调查县市将调查点的价格资料，整理计算出不同价格形式的平均价格，连同其收购量和收购额报省(市、区)有关部门，再由省(市、区)整理计算出全省(市、区)的不同价格形式的平均价格和综合平均价格。

　　(3)计算步骤。第一步：计算单项商品个体价格指数；整理计算出报告期全省(市、区)各种商品(或代表规格品)的综合平均价格，与基期各种商品(或代表规格品)相应的综合平均价格对比，求出该种商品(或代表规格品)的个体价格指数。

　　第二步：计算小类商品收购价格指数。采用加权调和平均数指数公式计算。先综合汇总报告期本小类商品的收购额 $\sum P_1Q_1$ 。以报告期各种商品的收购额 $P 1 Q 1$ 除以其相应的个体价格指数K，计算各种商品按基期(或上年)价格计算的假定收购额，加总求得按基期价格计算的小类商品假定的收购额 $\sum\frac{1}{K}P_1Q_1$ ，然后再与报告期小类商品收购额 $\sum P_1Q_1$ 对比，求得小类商品价格指数 $\frac{\sum P_1Q_1}{\frac{1}{K}P_1Q_1}$

　　第三步，计算大类商品收购额价格指数。先综合汇总报告期本大类中各小类商品收购额 $\sum P_1Q_1$ ，以各小类的商品收购额 $P 1 Q 1$ 除以相应的小类商品价格指数，加总求得按基期价格计算的假定收购额 $\sum\frac{1}{K}P_1Q_1$ ，对比计算大类商品收购价格指数。

　　第四步，按上述方法计算出农副产品收购价格总指数。

平均指数的意义

　　总指数是反映由多个要素构成的复杂经济现象综合变动的相对数，而用综合指数法编制总指数又要受到诸多限制。因此，可以换一种完全不同于综合指数的思路，首先应该了解总指数所反映的综合变动并不是多个个体变动程度的总和而是它们的一般水平，即它反映的多个个体变动程度。从这一思路出发，可以以个体指数为基础，通过对个体指数进行平均得到总指数，由于各个个体的重要性不同，进行平均计算时，只能采用加权平均法。

　　加权平均指数虽然是总指数的另一种形式，但它与综合指数并不是完全孤立的，在一定的权数条件下，两者可以相互转化，综合指数可以变形为平均指数，平均指数也可变形为综合指数。平均指数是综合指数的一种变形，但它本身也是一种独立的指数，具有广泛的使用价值，更多地适用于非全面资料，对资料的要求比较灵活，从而解决了综合指数的计算要求全面资料的局限性。从平均指数的计算特点考虑，平均指数是在个体指数的基础上计算总指数，即先对比后综合，这点有异于综合指数的先综合后对比。综合指数用来对比的总量指标有明确的经济内容，使得综合指数的分子、分母之差也具有一定的经济含义，不仅从相对量上可以分析复杂现象总体的变动方向和程度，而且从绝对量上也能说明由于指数化因素变动而带来价值总量的增、减额。平均指数的分子、分母之差没有明确的经济含义，这使得平均指数只能表明复杂现象总体的变动方向和程度，而不能从绝对量上说明价值总量指标的增、减额。可见，综合指数与平均指数各有所长，又各有所短。

平均指数与综合指数适用情况^[1]

　　综合指数的资料是总体的有明确的经济内容的总量指标。因此，总指数除可表明复杂总体的变动方向和程度外，还可从指数化指标变动的绝对效果上进行因素分析。平均指数除作为综合指数变形加以应用的情况外，一般只能通过总指数表明复杂总体的变动方向和程度，而不能用于对现象进行因素分析。

　　平均指数和综合指数的联系主要表现为在一定的权数条件下，两类指数间有变形关系。由于这种变形关系的存在，当掌握的资料不能直接用综合指数形式计算时，则可以用平均指数形式计算，这种条件下的平均指数与其相应的综合指数具有完全相同的经济意义和计算结果。

　　如果计算所依据的数据总体相同，当采用基期价值总量作为权数时，数量指标的算数平均指数与常用综合指数的计算结果相同；当采用报告期价值总量作为权数时，质量指标的调和平均指数与常用综合指数的计算结果相同。推证过程如下：

　　 $\sum k_qp_oq_o$ = $\sum\frac{q_1}{q_o}p_oq_o$ = $\sum p_oq_1$

　　 $\sum\frac{1}{k_p}p_1q_1$ = $\sum\frac{p_o}{p_1}p_1q_1$ = $\sum p_oq_1$

平均指数与综合指数区别和联系

　　平均指数与综合指数之间既有区别，又有联系。其主要区别，一是二者解决同度量问题的思路不同，综合指数是通过引进同度量因素，先综合后对比，而平均指数则是通过计算个体指数进行加权，先对比后综合；二是二者所需要的资料有别，综合指数通常依据总体的全面调查资料，而平均指数则一般使用总体的非全面调查资料。二者的联系在于，平均指数与综合指数都可以反映复杂现象的综合变动方向和程度，以相对数的形式说明现象的变动方向和程度，以绝对数的形式表明现象变动的结果。

参考文献

↑ 肖婷婷主编.统计学基础.清华大学出版社,2009.07.