（这篇，对于一些朋友来讲，比较无趣，就看到哪儿就哪儿吧，不过，我真心已经写得尽量的容易理解了，水平有限，无法让所有人都看明白。） 这个文章本应该在昨天晚上就完成的，不过，对自己的意志力看得太高了，所以，就又快到了中午。这还是今天京航放假半天才会有时机，那就快快开始写吧。 其实，它本应该更早一些完成的，因为许晴姐姐在上一次的测试中，获得了不理想的分数，同时弯弯在听物竞的课程的时候，也坐了一些飞机，她们两个都遇见了一个共同的问题，那就是对于振动与波的理解问题。 这个问题为啥就这样难以理解呢，原因就是人们（家长、老师和孩子）一直错误的理解了一个至关重要的问题：那就是，太多的人认为，初等数学和初等物理，它们相对于大学的高等数学和大学物理来讲，就是菜鸡都能够学得懂的。 其实大多数人自己在当菜鸡的时候，却与自己的孩子一样的，其实是不懂的。不对呀，这怎么可能，自己当时可是自信心爆棚的，因为成绩就摆在那里呢，初中几乎数学物理都是满分，高中数学物理也都看得过去的。 这就是分数给自己和现在当家长的自己造成的困扰。 原因就是，这些分数并不是理解了问题本身，从而获得的分数，而是通过自己的记忆与套公式计算出来的答案获得的分数。它和理解了事物的本质相差何止十万八千里。 学过高等数学的人都应该知道，它其实是更容易理解的数学思考方式，至于算出什么答案，在高等数学中，其实并不是很重要的问题，问题是，能不能够正确的理解问题，分析问题，并得到各类方程，只要方程正确，那么用计算机去解它们就好了。千万不要认为自己算题还不错，在高等数学课中，随意一个微分方程的解，可能就会耗掉你一半头发。人脑的计算能力与现在的机器比起来，还是算了吧。 对于孩子来讲，理解问题并具备一定的计算能力就好了，什么速算呀，巧算呀，不去练也不会失去啥的，把理解问题的能力提高，从而具备解决问题的能力，这才是核心的能力。 对于初等物理来讲，就更是如此，大伙儿也许发现了一个问题，那就是，初等物理，用到的数学基础实在是太少了，于是有人就会错误的认为，就那么几个公式，记住就好了，考试的时候套一套，数学学得好不好，几乎与学不学得好物理没有关系。 是这样子的吗，要知道，牛顿写的那本书名字可是叫做《自然哲学的数学原理》，啥意思，意思就是，当你翻开它的时候，里面出现的是大量的数学分析与推导。要是不具备良好的数学基础，就还是算了吧。其实就算是具备了良好的高等数学基础，当你翻开这本书的时候，还是会想丢下它的，原因呢，原因就是咱们现在学的高等数学的符号体系来源于莱布尼兹，牛顿使用的方法是流数法，它的符号体系并没有被现代数学体系采用。 初中的物理内容是那些，高中的物理内容还是那些，其实到了大学的物理内容也还就是那些。原因是啥，原因就是，无论是初中，高中，还是大学的物理书，它都是在试图让这个年龄段的孩子能够理解用它来描绘的世界，而从始至终都只有这一个世界不是吗？ 高中物理比初中描述深入一些，不过大学就不同了，大学其实就是高等数学的方法把高中的物理知识再重述一遍而已，当学了大学物理，就会突然发现，原来高中不理解的东西，不是因为自己的脑力不够，而是在高中的时候，老师说这些公式都是通过实验获得的经验公式，记住它，并会套用就可以了，其实根本就不是这么回事儿，一旦这么考虑问题，它就会让孩子需要大量的时间去记忆它们，而并不是理解它们。 在这里，我对学有余力的孩子的推荐是，当你们发现自己对一个事情无法理喻的时候，尝试改变自己理解这个事物的工具。 比如，对于物理问题最好的方式就是，简单的学一下高等数学，这时，用高等数学的方式去理解物理，就会发现直观而简洁。当然了，这不是指，你在高中的时候就需要去学量子力学和电动力学（相对论），而是指学习与理解基础力学。 回到具体的问题，那就是关于弯弯和许晴姐姐的问题： 在高中的时候，会学到机械运动中最简单的运动之一：简谐运动，它是这样描述的：物体受力大小与位移成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的振动称为简谐运动。 在初中，孩子们学到它受到一个回复力的作用，它的公式是这样子的： 看到这个公式，一眼就可以看出，它是与时间没关系的一个公式，而任何的运动，却一下就可以知道它必然是与时间紧密联系的，因为运动是一个过程！ 所以，到了高中，就给出了一个含有时间参数的方程： 这个方程和上面那个方程看似八杆子打不着，其实这两个方程描述的是同一个运动，只是一个隐藏了与时间的关系，一个方程明晃晃的把时间就放在那里了。 上一个方程里，方程两边同除以质量，左边：力除以质量就是加速度，得到下面这个式子： 加速度里就含着时间了，从这个方程可以看出来，加速度与振幅是线性关系。 我们再来看，把振动方程两边对时间求二阶导数，（不知道许晴姐姐是否已经学过导数，高中是应该学这个内容的，弯弯是已经能够理了。）就得到了下面这个方程： 看到了吧，它们就变成了同一个形式的方程。 不过，在牛顿表达简谐运动的时候，他用的不是上面的任何一个方程。他用的是（用现代微分符号翻译之后的样子）： 也就是用微分方程，直接描述这个运动的状态，它表述的是任何时刻简谐运动的加速度与振幅相反，也就是指向振动平衡点，并与振幅呈线性关系。 然后，通过解微分方程的方式，得到的结果是，才是上面的振动方程。 有了振动方程，就可以描述当振动在介质里传播形成的波了，这就是波动方程。显然它的形式与振动方程是一致的（当然了，在中学只考虑匀介质的情况下）。
在这里，要清晰的理解一件事情，振动方程是描述一个质点在不同时刻的位置与时间的关系的方程。而波动方程是描述一列波在一个时刻的波形的样子的。 好了，就写到这里吧。
希望，姐姐能够认真看一下，只要学过导数就一定能够看懂的。 等弯弯回来，我们解一下这个微分方程吧，应该就可以理解这个运动的数学本质了。