放弃期权
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放弃期权是指在实行某个项目后又放弃该项目。这可能涉及到出售该项目的资产或把这些资产用到公司的其他领域。当将某项目的资产在外部市场上出售时，该项目的市场价值就是放弃期权的价值；而当将这些资产用到公司别的领域时，其机会成本就是放弃期权的价值。
有时放弃期权隐藏于整体预测中：一般而言继续经营可能更可取，而在一些情况下终止可能更好。
例一：假设某公司准备生产一种新产品，将引进一条新的流水线，初步预测该流水线每年将产生100万元的净现金流量。在一年后,随着管理人员对市场环境的熟悉以及更深入的调研，了解到该项目成败的可能性各为50%。如果该项目成功的话，每年将产生200万元的净现金流量；如果项目失败的话，不再进行投资，净现金流量为0。项目评估使用的折现率为10%，初始投资需1 050万元，一年内流水线变现的残值收入为500万元。
按传统方法，预期的年现金流量为100万元，贴现率为10%，那么项目的净现值(NPV)为-50万元 (100÷10%-1 050)。
由于NPV<0，我们得出结论不应该投资。然而这种思路并不正确，因为：就这项初始投资为1050万元的投资项目而言，一年后如果该项目失败，产生的现金流量为：500万元(残值)+100万元(初始预测下第一年年末的现金流量)=600(万元)。然而，如果项目成功，产生的现金流量为：2 000万元(200÷10%)+100万元(初始预测下第一年年末的现金流量)=2100(万元)。由于成败的概率均为50%,，因此该项目期望的价值是：600×50%+2 100×50%=1350(万元)，即最少在一年后可获得100万元的现金和价值1 250万元(500×50%+2000×50%)的项目。仍然采用10%的贴现率计算，NPV=1 350÷(1+10%)-1050=177.27(万元),这样看来，NPV>0，我们应当投资该项目。该投资项目的决策树分析如下:
该投资项目的放弃价值为500万元，概率为50%，其现值为:500×50%÷(1+10%)=227.27(万元)，这一价值就是放弃期权的价值。
就该案例而言，项目的价值(177.27万元)=传统方法计算的净现值(-50万元)+放弃期权的价值(227.27万元)。正因为项目拥有一个有价值的期权，所以应该接受它。
例二：假设A公司对某种新型产品感兴趣，就此与该产品的生产方B公司进行接触，希望可以建立一个合资项目。
预期该项目的有效期为30年，在进行了传统的投资分析后，B公司得出了项目的预期现金流只有4．8亿美元的结论，项目的净现值则为负数。因此，B公司无意与A公司开展合资项目。
在提出的合资项目被B公司拒绝之后，A公司提出了更加优惠的条件，即，在未来5年间的任何时候，A都可能会以40000万美元回购B在合资项目中所占股份的50％。这一数字略低于B公司的最初投资额，但为其亏损提供了底线。也就是说，A公司赋予了B公司一个放弃期权。现在估价这项放弃期权对B公司而言的价值：
K=放弃期权的价值=40000万美元
T=放弃期权的有效期=5年
为了估计方差，假设B公司在项目分析上通过蒙特卡罗模拟法而估计得到项目价值的标准差为25％。需要注意的是，由于项目的有效期有限，现值会随时间的增长而下降，因为产生现金流的剩余年份会越来越少。出于简化的目的，我们假设这与项目的剩余时间成比例变化。
股息收益=1／项目剩余时间=1／30=3.33％将
这个数值带入到Black-Scholes模型中，运用5％的无风险利率，得到期权估价如下：
放弃期权价值=S×N(d1)-K×er,T×N(d2)=40000×exp(-0.05)(5)(1—0.5776)-48000×exp(0.033)(5)(1-0.7748)=4009(万美元)。
鉴于这一数字大于投资的负净现值，B公司应该参与这一合资项目。另外，作为对A公司放弃这一期权的补偿，该项目至少需要产生4009万美元的净现值。[1]
例三：某公司准备开发一处矿山，估计需投资1900万元，投产后矿石的年产量可达30吨(较长时期内可持续)；矿石的当前市价为15万元／吨，预计价格将会以10％的速度上涨，但这种上涨并不稳定，价格变动的标准差为40％。年固定成本为120万元(不考虑其他成本和税收)，1～5年后的残值收入分别为600万元、500万元、400万元、300万元、200万元。企业该项目的无风险利率为5％，风险报酬率为10％。
不考虑期权的项目净现值，如表一所示。
| 时间(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 经营现金流量(增长率10％) | 495.00① | 544.50 | 598.95 | 658.85 | 724.73 | |
| 折现系数(1O％) | 0.9091 | 0.8264 | 0.7513 | 0.6830 | 0.6209 | |
| 经营现金流量现值 | 450.00 | 449.97 | 449.99 | 449.99 | 449.98 | |
| 经营现金流量合计 | 2249.95 | |||||
| 残值收入 | 200.00 | |||||
| 残值收入现值 | 124.18 | |||||
| 固定成本支出 | 120.00 | 120.00 | 120.00 | 120.00 | 120.00 | |
| 折现系数(5％)② | 0.95 | 0.91 | 0.86 | 0.82 | 0.78 | |
| 固定成本支出现值 | 114.29 | 108.84 | 103.66 | 98.72 | 94.02 | |
| 固定成本支出合计 | 519.53 | |||||
| 投资成本 | 1900.00 | |||||
| 净现值 | -45.40 |
考虑期权的项目净现值，如表二所示。
| 时间(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 经营现金流入 | 450.00 | 671.31 | 1001.46 | 1493.98 | 2228.72 | 3324.80 |
| 301.64 | 449.98 | 671128 | 1001.41 | 1493.91 | ||
| 202.19 | 301.62 | 449.96 | 671.25 | |||
| 135.53 | 202.18 | 301.61 | ||||
| 90.84 | 135.52 | |||||
| 60.89 | ||||||
| 经营净现金流量= 现金流入-固定成本 | 330.00 | 551-31 | 881.46 | 1373.98 | 2108.72 | 3204.80 |
| 181.64 | 329.98 | 551.28 | 881.41 | 1373.9l | ||
| 82.19 | 181.62 | 329.96 | 551.25 | |||
| 15.53 | 82.18 | 181.61 | ||||
| -29.16 | 15.52 | |||||
| -59.11 | ||||||
| 未修正项目价值=[p× (后期上行净现金流入+后期期末价值) +(1-p)×(后期下行净现金流入 +后期期末价值)]/(l+r) | 1887.16 | 2424.25 | 2850.34 | 2946.22 | 2304.9 | 200 |
| 945.57 | 1195.91 | 1300.83 | 1077.6 | 200 | ||
| 452.54 | 561.52 | 526.15 | 200 | |||
| 229.33 | 278.37 | 200 | ||||
| 167.03 | 200 | |||||
| 200 | ||||||
| 清算价值(固定资产余值) | 600 | 500 | 400 | 300 | 200 | |
| 修正后的项目现值(清算价值 大于经营现值时，用清算价值 替代经营价值，并从后向前 重新计算) | 1902.17 | 2427.16 | 2850.34 | 2946.22 | 2304.9 | 200 |
| 972.37 | 1201.59 | 1300.83 | 1077.6 | 200 | ||
| 500 | 572.6 | 526.15 | 200 | |||
| 400 | 300 | 200 | ||||
| 300 | 200 | |||||
| 200 |
在不考虑期权的情况下，该项目的净现值为负，不值得投资。考虑期权的项目净现值：采用五期二项树法计算放弃期权价值。首先，计算上行乘数和下行乘数
=
其次，计算系数P
最后，列表计算项目价值。
由表二知，考虑期权的项目净现值为：1902.17-1900=2.17(万元)。
由表一知，不考虑期权的项目净现值为：-45.4万元。
期权价值=2.17-(-45.4)=47.57(万元)。
因此，公司应当实施该项目。[2]