协整理论

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什么是协整理论

　　协整是指若两个或多个非平稳的变量序列，其某个线性组合后的序列呈平稳性。

　　协整理论的作用在于正确地解释了经济现象和预测现象，误差修正模型（ECM）将影响变化的因素有效地分解成长期静态关系和短期动态关系之和。其中格兰杰定理证明了协整关系与误差修正模型之间的关系，指出若干个一阶非平稳经济变量间若存在协整关系，那么这些变量一定存在误差修正模型表达式，反之也成立。

协整理论产生的背景

　　1、20世纪70年代以前的建模技术以时间序列平稳为前提设计的。

　　2、理论假定与现实的矛盾。

　　3、协整理论的产生---计量经济学方法研究的新阶段

　　---Granger首先提出了伪回归问题（1974）；

　　----1978年，Engle—Granger发表论文“协整与误差修正”，正式提出“协整”（cointegration）概念

协整理论的发展

　　协整理论是Engleand Granger在1978年首先提出来的。在此之前，人们为了避免出现谬误回归，往往只采用平稳时间序列来建立回归模型，或者先将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后再作回归。有了协整理论，几个同阶单整的时间序列之间可能存在一种长期的稳定关系，其线性组合可能降低单整阶数。在经济领域中，许多情况下通过经济理论我们可以知道某两个变量应该是协整的，利用协整理论，我们可以给出一个确切地判断，通过协整检验就是对经济理论正确性的检验。近些年来，协整理论在我国经济领域的应用有了快速的发展。例如在宏观经济研究中，朱运法，张彦群（1998）讨论了中国季度宏观经济计量的协整模型。在居民消费与GDP之间的关系研究中，朱江，田映华和孙全（2003）从协整理论出发，对我国居民消费与GDP建立了误差修正模型。在能源消费研究中，马超群、储慧斌、李科和周四清（2004）采用协整理论分析中国从1954～2003年间能源消费和经济增长的年度数据，分析了GDP与能源消费的各组成部分(包括煤、石油、天然气和水电等)之间的协整关系，并且建立了具有误差修正项的长期均衡方程，对模型结果也进行了分析。在金融货币的运行研究中，关山燕，甄红线（2001）运用协整理论，给出了我国的货币需求的误差修正模型。

协整理论的内容

　　所谓的协整是指若两个或多个非平稳的变量序列，其某个线性组合后的序列呈平稳性。此时我们称这些变量序列间有协整关系存在。为了给出协整关系的精确定义，我们需要先给出单整的概念，如果一个时间序列{ $y t$ }在成为稳定序列之前必须经过d次差分，则称该时间序列是d阶单整。记为 $y t$ ~I(d)。下面我们可以给出协整关系的精确定义，设随机向量 $X t$ 中所含分量均为d阶单整，记为 $X t$ ~I(d)。如果存在一个非零向量 $β$ ，使得随机向量 $Y t$ = $β$ $X t$ ~I(d-b),b>0，则称随机向量 $X t$ 具有d，b阶协整关系，记为 $X t$ ~CI(d,b)，向量 $β$ 被称为协整向量。特别地， $y t$ 和 $x t$ 为随机变量，并且 $y t$ , $x t$ ~I(1)，当 $y t = k 0 + k 1 x t$ ~I(0)，则称 $y t$ 和 $x t$ 是协整的，( $k 0$ , $k 1$ )称为协整系数。

　　关于协整的概念，我们给以下说明：首先，协整回归的所有变量必须是同阶单整的，协整关系的这个前提并非意味着所有同阶单整的变量都是协整的，比如假定 $y t$ , $x t$ ~I(1)， $y t$ 和 $x t$ 的线性组合仍为I(1)，则此时 $y t$ 和 $x t$ 虽然满足同阶单整，但不是协整的。其次，在两变量的协整方程中，协整向量( $k 0$ , $k 1$ )是唯一的，然而，若系统中含有k个变量，则可能有k-1个协整关系。协整检验和估计协整线性系统参数的统计理论构成了协整理论的重要组成部分。如果没有它们，那么协整在实践中便会失去其应有的重要作用。常用的协整检验有两种，即Engle-Granger两步协整检验法和Johansen协整检验法。这两种方法的主要差别在于Engle-Granger两步协整检验法两步法采用的是一元方程技术，而Johansen协整检验法采用的是多元方程技术。因此Johansen协整检验法在假设和应用上所受的限制较少。

　　1、Engle-Granger两步协整检验法

　　Engle-Granger两步协整检验法考虑了如何检验零假设为一组I(1)变量的无协整关系问题。他们用普通最小二乘法估计这些变量之间的平稳关系系数，然后用单位根检验来检验残差。拒绝存在单位根的零假设是协整关系存在的证据。我们从最简单的情况开始讨论，设两个变量 $y t$ 和 $x t$ 都是序列，考虑下列长期静态回归模型

　　 $y t = β 0 + β 1 x t + ε t$ (1)

　　对于上述的模型的参数，我们用最小二乘法给出其参数估计。利用MacKinnon给出的协整ADF检验统计量，检验在上述估计下得到的回归方程的残差 $ε t$ 是否平稳（如果 $y t$ 和 $x t$ 不是协整的，则他们的任意组合都是非平稳的，因此残差 $ε t$ 将是非平稳的）。也就是说，我们检验残差 $ε t$ 的非平稳的假设，就是检验 $y t$ 和 $x t$ 不是协整的假设。更一般地，我们有以下具体方法：

　　(1)使用ADF检验长期静态模型中所有变量的单整阶数。协整回归要求所有的解释变量都是一阶单整的，因此，高阶单整变量需要进行差分，以获得I(1)序列。

　　(2)用OLS法估计长期静态回归方程，然后用ADF统计量检验残差估计值的平稳性。

　　2、Johansen协整检验法

　　当长期静态模型中有两个以上变量时，协整关系就可能不止一种。此时若采用Engle-Granger协整检验，就无法找到两个以上的协整向量。Johansen和Juselius提出了一种在VAR系统下用极大似然估计来检验多变量之间协整关系的方法，通常称为Johansen协整检验。具体做法是如下：

　　设一个VAR模型如下

　　 $Y t = B 1 Y t - 1 + B 2 Y t - 2 + ... + B p Y t - p + U t$ (2)

　　其中 $Y t$ 为m维随机向量， $B i$ (i=1,2,...,p)是m×m阶参数矩阵， $U t$ ~IID(0, $σ$ )。我们将(2)式转换为

　　 $\triangle$ $Y t$ = $\sum_{i-1}^p\phi\delta$ $Y t - i$ + $φ$ $Y t - p$ + $U t$ (3)

　　(3)式称为向量误差修正模型(VECM)，即一次差分的VAR模型加上误差修正项 $φ$ $Y t - p$ ，设置误差修正项的主要目的是将系统中因差分而丧失的长期信息引导回来。在这里 $φ t$ =-(I-B_1-...-B_i)， $φ$ =-(I-B_1-...-B_p)。参数矩阵 $φ i$ 和 $φ$ 分别是对 $Y t$ 变化的短期和长期调整，m×m阶矩阵 $φ$ 的秩记为r，则存在三种情况：

　　(i)r=m，即 $φ$ 是满秩的，表示 $Y t$ 向量中各变量皆为平稳序列；

　　(ii)r=0， $φ$ 表示为空矩阵， $Y t$ 向量中各变量无协整关系；

　　(iii)0<r≤m-1，在这种情况下， $φ$ 阵可以分解为两个m×r阶(满列秩)矩阵 $α$ 和 $β$ 的积，即 $φ = αβ'$ 。其中 $α$ 表示对非均衡调整的速度， $β$ 为长期系数矩阵(或称协整向量矩阵)，即 $β$ '的每一行 $β i$ '是一个协整向量，秩r是系统中协整向量的个数。尽管 $α$ 和 $β$ 本身不是唯一的，但 $β$ 唯一地定义一个协整空间。因此，可以对 $α$ 和 $β$ 进行适当的正规化。

　　这样，协整向量的个数可以通过考察 $φ$ 的特征根的显著性求得。若矩阵 $φ$ 的秩为r，说明矩阵 $φ$ 有r个非零特征根，按大小排列为 $λ 1$ , $λ 2$ ,..., $λ 3$ 。特征根的个数可通过下面两个统计量来计算：

　　 $\lambda_trace=-T\sum_{i=r+1}^m\log(1-\lambda_i)$ (4)

　　 $λ m a x = - T log(1 - λ r + 1)$ (5)

　　其中 $λ i$ 是式(3)中 $φ$ 矩阵特征根的估计值，T为样本容量。

　　(4)式称为迹检验，

　　 $H 0$ :r<m $\leftrightarrow$ $H 1$ :r=m

　　(5)式称为最大特征根检验，

　　 $H 0$ :r=q,q=1,2,...,m $\leftrightarrow$ $H 1$ :r≤q+1

　　原假设隐含着 $λ r + 1$ = $λ r + 2$ =...= $λ m$ =0，表示此系统中存在m-r个单位根，最初先设原假设有m个单位根，即r=0，若拒绝原假设 $H 0$ ，表示 $λ 1$ >0，有一个协整关系；再继续检验有(m-1)个单位根，若拒绝原假设 $H 0$ ，表示有两个协整关系；依次检验直至无法拒绝 $H 0$ 为止。Johansen与Juselius在蒙特卡罗模拟方法的基础上，给出了两个统计量的临界值，目前大多数计量经济软件都直接报告出检验结果。关于这一节的具体计算，借助于统计分析软件包，我们可以很方便地得到计算结果，这里略去。

协整理论的意义

　　研究变量之间的协整关系，对研究经济问题的定量分析有着重要的意义：

　　（1）定量描述经济规律：协整表明尽管两个序列虽然都是非平稳的I(1)，但两者的某个线性组合却可能存在一种平稳关系。这种平稳关系，对于研究经济学中变量之间存在的稳定的经济规律的定量描述具有很重要的意义。研究变量之间的协整关系，就等于研究变量之间的定量规律。

　　（2）避免伪回归。如果一组非平稳时间序列不存在协整关系，则根据它们构造的回归模型就可能是伪回归。伪回归模型尽管有很高的 $R 2$ 值和t值，但OLS的参数估计值却是非一致的（这种结果看上去很好但却是毫无意义的回归，被格兰杰（Granger）和纽博尔德（Newbold）称为伪回归）。

　　一般在时间序列的回归中，DW值很低而 $R 2$ 却很高，就应怀疑存在伪回归的可能。如果建立模型前，对变量之间的协整关系进行了检验，证明了它们是协整的，那么所建立的回归模型则可以避免伪回归。所以，对变量之间的协整检验是避免伪回归的事先预防。

　　（3）区分变量之间的长期均衡关系和短期波动关系。长期均衡关系就是指两个时间序列共同漂移的方式。短期波动关系是指 $y t$ 对长期趋势的偏离 $\triangle$ $y t$ 与 $x t$ 对长期趋势的偏离 $\triangle$ $x t$ 之间的关系。误差修正模型便是一种能同时考虑变量之间这两种关系的一种模型。