分期付款

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分期付款（Pay by Installments）

什么是分期付款

　　分期付款是购买商品和劳务的一种付款方式。大多用在一些生产周期长、成本费用高的产品交易上。如成套设备、大型交通工具、重型机械设备等产品的出口。

分期付款的发展

　　分期付款方式是在第二次世界大战以后发展起来的。开始时只局限于一般日用商品或劳务的购买。后来，随着生产力的迅速发展，工、农业生产的规模日益扩大，所需费用增大，加之银行信用的发展，分期付款的领域扩大到企业购买大型机器设备和原材料上。

　　近年来伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，在国外流行的分期付款消费被引入国内，并迅速得到国内消费者的认可。采用分期付款方式消费的通常是目前支付能力较差，但有消费需求的年轻人。其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等。

分期付款的特点

　　分期付款的做法是在进出口合同签订后，进口人先交付一小部分货款作为订金给出口人，其余大部分货款在产品部分或全部生产完毕装船付运后，或在货到安装、试车、投入以及质量保证期满时分期偿付。

　　分期付款实际上是卖方向买方提供的一种贷款，卖方是债权人，买方是债务人。买方在只支付一小部分货款后就可以获得所需的商品或劳务，但是因为以后的分期付款中包括有利息，所以用分期付款方式购买同一商品或劳务，所支付的金额要比一次性支付的货款多一些。

　　买卖双方在成交时签订契约，买方对所购买的商品和劳务在一定时期内分期向卖方交付货款。每次交付货款的日期和金额均事先在契约中写明。

分期付款方式

　　分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供。

　　银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，

　　同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤消的债务连带责任。

分期付款的优势

　　一方面可以使卖方完成促销活动;

　　另一方面也给买方提供了便利。

分期付款的计算方法 ^[1]

　　在分期付款中还要了解分期付款的有关计算。

　　1.等额偿还方式

　　若年初向银行贷款D(元)，准备分n期偿还，每期均偿还P（元），期利率为R。

　　贷款一期后，本金和应为D(1+R)。

　　第一次还款后剩余款项为 $b 1 = D (1 + R) - P$ ,由于所剩款项要付利息，故第二次还款是在(D(1+R)-P)(1+R)的基础上还P元，即第二期偿还后剩余款项为：

　　 $b 2 = D (1 + R) 2 - P (1 + R) - P$

　　如此类推，第n期期末还P元便立即结算（不涉及复利）

　　故有： $b_n=D(1+R)^n-P[(1+R)^{n-1}+(1+R)^{n-2}+\cdots\cdots+1]=0$

　　即 $D(1+R)^n=P\frac{(1+R)^n-1}{R}$

　　从而每期应偿还的数目为

　　 $P=\frac{DR(1+R)^n}{(1+R)^n-1}$

　　2.不等额偿还

　　如果不是每期都偿还P元，而是第一期还 $P 1$ ，第二期还 $P 2$ , …第n期还 $P n$ 后，便立即结算。

　　则：第一期偿还后，还剩：

　　 $D (1 + R) n - P 1$

　　第二期偿还后，还剩：

　　 $[D (1 + R) 2 - P 1](1 + R) - P 2 = D (1 + R) 2 - P 1 (1 + R) - P 2$

　　第三期偿还后，还剩：

　　 $[D (1 + R) 2 - P 1 (1 + R) - P 2](1 + R) - P 3 = D (1 + R) 3 - P 1 (1 + R) 2 - P 2 (1 + R) - P 3$

　　由此类推，第n期偿还 $P n$ 后，便还清所有款项即：

　　 $D(1+R)^n-P_1(1+R)^{n-1}-P_2(1+R)^{n-2}-\cdots\cdots-P_n=0$

　　即 $D(1+R)^n=\sum_{i=1}^n P_i(1+R)^{n-i}(P\ge0)$

　　3.应用（等额方式）

　　某用户从21岁开始，每年存入银行退休保险金a元，如果平均每年利息为R,直到60岁退休为止，从61岁开始每年从银行提取2万元，预计能连续支付40年，则该用户在工作期间，每年存入银行的钱款数为多少？解：第一年(21岁时)存入a元，当此用户61岁去取时，a元就会升值到

　　 $a (1 + R) 40$

　　第二年又存入a元，最终升值到 $a (1 + R) 39$

　　由此得出数列 $a n$

　　 $a_1=a(1+R)^{40},a_2=a(1+R)^{39},\cdots\cdots,a_{40}=a(1+R)$

　　则有 $S_{40}=a_1+a_2+\cdots\cdots+a_{40}=a(1+R)[(1+R)^{39}+(1+R)^{38}+\cdots\cdots+1]=a(1+R)\frac{(1+R)^{40}-1}{R}$

　　此用户61岁开始逐年提取退休保险金。

　　第一年取2万元，那么还剩 $(S 40 - 2)$ 万元；

　　第二年取2万元，因为前一年取剩的钱还有利息，所以第二年取剩的钱就为 $(S 40 - 2)(1 + R) - 2$

　　由此可得数列: $b n$

　　 $b 1 = S 40 - 2$

　　 $b 2 = (S 40 - 2)(1 + R) - 2$

　　 $b 3 = (S 40 - 2)(1 + R) 2 - 2(1 + R) - 2$

　　…………

　　 $b_{40}=(S_{40}-2)(1+R)^{39}-2(1+R)^{38}-2(1+R)^{37}-\cdots-2=$

　　 $S_{40}(1+R)^{39}-2(1+R)^{38}-2(1+R)^{37}-\cdots-2=S_{40}(1+R)^{39}-2[(1+R)^{38}+(1+R)^{37}+\cdots+1]=s_{40}(1+R)^{39}-\frac{(1+R)^{40}-1}{R}=0$

　　 $=a(1+R)\frac{(1+R)^{40}-1}{R}$ 　　①

　　又 $S_{40}(1+R)^{39}=\frac{2[(1+R)^{4}-1]}{R}$ 　　②

　　由①②得 $a(1+R)\frac{(1+R)^{40}-1}{R}(1+R)^{39}=\frac{2[(1+R)^{4}-1]}{R}$

　　 $a=\frac{2}{1+R}^{40}$

　　故每年应向银行存入元才能保证退休后每年能取2万元钱而取整整40年。

延期付款与分期付款的区别^[2]

　　延期付款虽与分期付款类似，但两者还是有下列重大区别。

　　(1)货款支付时问不同。采用分期付款，其货款是在交货时付清或基本付清；而采用延期付款时，大部分货款是在交货后一个相当长的时间内分期摊付。

　　(2)货物所有权转移时间不同。采用分期付款时，只要付清最后一笔货款，货物所有权即行转移；而采用延期付款时，货物所有权一般在交货时即转移。

　　(3)是否要求买方向卖方支付利息问题上也有所不同。采用分期付款，买方没有利用卖方的资金，因而不存在利息问题；而采用延期付款时，买方利用了卖方的资金需要向卖方支付利息。

　　在采用分期付款或延期付款时往往将汇付、托收和信用证付款三者结合使用，即主要货款采取信用证付款方式，少量货款或货款尾数则采用汇付或托收方式。

参考文献

↑ 胡耀胜.分期付款的数学原理及其应用[J].统计与决策,2004,(11)
↑ 严云鸿.国际贸易理论与实务（第二版）[M].清华大学出版社,2007.6.