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连续复利收益率

  	      	      	    	    	      	    
连续复利收益率(Continuously Compounded Rate of Return，CCR) 
 
目录
  
 
连续复利收益率概述[1]
 
　　为介绍连续复利收益率的概念，首先讨论复利次数与期末总资金间的关系。在单期 内，复利计息的次数愈多，期末总资金的累积也愈大，说明如下： 
　　若年收益率为14％，1000元资金投资两年后的期末资金应为： 
　　1000(1＋14％)2 ＝ 1299.６(元) 
　　若每年内复利生息２次(每六个月复利一次),则期终资金为： 
　　1000(１＋14％/2)^{2\times 2}＝1301.８(元) 
　　若每年内复利生息4次，则期终资金为： 
　　1000(１＋14％/4)^{2\times 4}＝1316.８(元) 
　　所以，若以R代表年利率，m代表每期(每年)内的复利次数，n代表投资期限(n年)，则以C0元投资n期(年)后所得的期末资金应为： 
　　C_n=C_0(1+\frac{R}{m})^{n\times m} 
　　式中，R／m代表小期内(In Asub-Period)的收益率。根据上式，可以分析连续复利收益率的概念以及计算方法。若将单一期(１年)内的复利次数(m)增加，则投资收益将会以更快的速度复利生息。也就是说，在单一期内复利生息的次数愈多，计算复利的期间也就愈缩短。当复利次数增至无限大时(m→∞)，投资收益将在每一瞬息间复利生息。这种瞬息复利生息的复利称为连复利生息(Continuously Compounding)。那么连续复利会不会导致期末资金的无限大？运用高等数学的极限知识，有： 
　　\lim_{m\to \infty} (1+\frac{R}{m})^{nm}=\lim_{m\to \infty} [(1+\frac{1}{m/R})^{m/R}]^{nR}=e^{nR} 
　　所以，在持续复利生息下，C0元投资n期(年)后所得的期末资金应为： 
　　C_n=C_0 e^{n\times R} 
　　反之，假设R代表单一期收益率，能与单期复利生息产生相同期终资金的连续复利 报酬率R′应为： 
　　R′=ln(1＋R)　　　　　　(1) 
　　此处，ln代表自然对数函数，证明如下： 
　　以C0元投资一期，并复利计息一次的期末资金为： 
　　C1 = C0(1 + R)　　　　　　(2) 
　　以连续复利生息一期所得的期终资金应为 
　　C1 = C0eR'　　　　　　(3) 
　　(2)式等于(3)式，可得(1)式。所以，若单期收益率为R，则其对等的连续复利收益率应为(1＋R)的自然对数，即ln(1＋R)。 
　　连续复利收益率在投资研究的领域中运用十分广泛。其原因之一在于，它的概率分布较接近于正态分布，对金融经济学的理论发展与实际验证的简化具有相当大的帮助。 
 
 连续复利收益率、年度百分率与有效年利率 
 
  • 连续复利收益率（Continuously compounded rate of return，CCR） 
  • 年度百分率(annual percentage rate,APR) 
  • 有效年利率（Effective Annual Rates，EAR) 
  • T为持有期 
 
　　短期投资利率常用APR来表示，一年有n=1/T期，每期利率为RT,则 
　　APR=n\cdot R_T 
　　APR\cdot T=R_T 
　　1+EAR=(1+R_T)^n=(1+APR\cdot T)^{1/T} 
　　1+EAR=\lim_{T\to 0}(1+APR\cdot T)^{1/T}=e^{CCR} 
　　CCR = ln(1 + EAR) 
 
参考文献
 
 
  1. ↑ 孙伍琴,王朝晖,熊乐星.证券投资学.上海市：立信会计出版社,2008.