连续复利

连续复利(Continuous compounding)

什么是连续复利

　　复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。

　　而连续复利则是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。

　　设本金为 $p 0$ ，年利率为i，当每年含有m个复利结算周期（若一个月为一个复利结算周期，则m=12，若以一季度为一个复利结算周期，则m=4）时，则n年后的本利和为：

　　 $\mathbf{p_{nm}=p_0(1+\frac{i}{m})^{mn}=p_0(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}ni}}$

　　当复利结算的周期数 $m\to \infty$ （这意味着资金运用率最大限度的提高）时， $(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}}$ 的极限为e,即

　　 $\lim_{m \to \infty}(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}}=2.7182818284590...=e$

　　所以当 $m\to \infty$ 连续复利本利和公式为：

　　 $p_n=\lim_{m \to \infty}p_0(1+\frac{i}{m})^{mn}=p_0\lim_{m \to \infty}[(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}}]^{ni}=p_0e^{ni}$ 　　　　　　(1)

　　即：

　　 $\mathbf{p_n=p_0e^{ni}}$

　　式中 $e n i$ 成为瞬间复利系数，或称一元钱的瞬间复利本利和

　　短期投资利率常用APR来表示，一年有n=1/T期，每期利率为 $R T$ ,则

　　 $APR=n\bullet R_T$

　　 $APR\bullet T=R_T$

　　 $1+EAR=(1+R_T)^n=(1+APR\bullet T)^{1/T}$

　　 $\mathbf{1+EAR=\lim_{T\to 0}(1+APR\bullet T)^{1/T}=e^{CCR}}$

　　 $\mathbf{CCR=\ln (1+EAR)}$