二元随机变量

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二元随机变量

什么是二元随机变量

　　有很多随机试验往往会设计2个随机变量，值得注意的是，这些随机变量并非孤立，而是相互之间有一定的联系。因而需要把它们作为一个整体来研究。如果每次试验结果都对应着一组确实的实数，它们是随试验结果不同变化的二个随机变量，并且对任何一组实数 $x 1$ , $x 2$ ,..., $x n$ ，事件有确定的概率，则称二个随机变量的整体为一个二元随机变量。

二元随机变量的内容

二维离散型随机变量

　　(1)联合分布律

　　 $P (X = x i, Y = Y j) = p i, j$ 和下面的联合概率分布表称作二元离散型随机变量(X,Y)的分布律或X与Y的联合分布律。 $p i, j$ 称为(X,Y)的概率函数或概率分布，或称为X和Y的联合概率函数或概率分布。

$\frac{X}{Y}$	$y 1$	$y 2$	…	$y j$	…	$P (X = x i)$
$X 1$	$p 11$	$p 12$	…	$p 1 j$	…	$p_1^{(1)}$
$X 2$	$p 21$	$p 22$	…	$p 2 j$	…	$p_2^{(1)}$
...
$X i$	$p i 1$	$p i 2$	…	$p i j$	…	$p_i^{(1)}$
...
P(Y=y)	$P_1^{(2)}$	$p_2^{(2)}$	…	$P_j^{(2)}$	…

　　(2)边缘分布

　　设(X,Y)具有 $P (X = x i, Y = Y j) = p i j$ ，则

　　 $P(X=x_i)=\sum_{j} P(X=x_i,Y=y_i)=\sum_{j} p_{ij}=p_i=p_i^{(1)}$ （联合分布表中第i行各概率相加）

　　称为（X,Y）对X的边缘概率分布。

　　 $P(Y=y_i)=\sum_{i} P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_{i} p_{ij}=p_j=p_j^{(2)}$ （联合分布表中第j列各概率相加）

　　称为(X，Y)对Y的边缘概率分布。

　　(3)条件分布

　　对于二元离散型随机变量（X,Y），如果 $P(Y=y_j)\ge 0$ ，则

　　 $P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_j^{(2)}}=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}$

　　称为在 $Y = y j$ 条件下关于X的条件分布。

　　同理，如果 $p_i^{(1)}=P(X=x_i)\ge0$ ,则

　　 $P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_i{(1)}}=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}$

　　称为在 $X = x i$ 条件下关于Y的条件分布。

　　（4）二元离散型随机变量的分布函数 $F(x,y)=\sum_{x_i\le x}\sum_{y_j\le y}p_{ij}$

二维连续型随机变量

　　（1）联合概率密度

　　如果存在非负函数 $φ(x, y)$ ，使得(X,Y)的分布函数F(x, y)对于任意实数x, y都有 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} \phi(s,t)dtds$ ,

　　则称（X,Y）是二元连续型随机变量， $φ(x, y)$ 称为X与Y的联合概率密度或（X,Y）的概率密度。

　　分布函数其实就是 $F(x,y)=P(X\le x,Y\ge y)$ 。

　　若 $φ(x, y)$ 在某区域连续，则对该区域中的每一点（x,y）都有 $\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=\partial(x,y)$

　　(2)边缘概率密度

　　 $F_{X}(x)=P(X\le x)= P(X\le x,-\infty<Y<+\infty)=\begin{matrix}\lim_{y\to\infty}F(x,y)\end{matrix}= \int_{-\infty}^{x}ds$ $\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(s,t)dt=\int_{-\infty}^{x}\phi_x(s)ds$

　　则称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。

　　 $\phi_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x,y)dy$ 称为（X,Y)关于X的边缘概率密度。

　　 $F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(-\infty<X<+\infty,Y\le y)=\begin{matrix}\lim_{x\to\infty}F(x,y)\end{matrix}=\int_{-\infty}^{Y}dt \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(s,t)ds=\int_{-\infty}^{y}\phi_y(t)dt$

　　则称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。

　　 $\phi_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x,y)dx$ 称为（X,Y)关于Y的边缘概率密度。

　　（3)条件概率密度

　　若 $φ Y (y) > 0$ ,称 $\phi(x|y)=\frac{\phi(x,y)}{\phi Y(y)}$ 为在Y=y条件下关于X的条件概率密度。

　　若 $φ X (x) > 0$ ,称 $\phi(y|x)=\frac{\phi(x,y)}{\phi X(x)}$ 为在X=x条件下关于Y的条件概率密度。

　　条件分布函数为:

　　 $F_{X|Y}(x|y)=\frac{\int_{-\infty}^{x}\phi(x,y)dx}{\phi Y(y)}=\int_{-\infty}^{x}\phi_X|Y(x|y)dx$

　　 $F_{Y|X}(y|x)=\frac{\int_{-\infty}^{y}\phi(x,y)dy}{\phi X(x)}=\int_{-\infty}^{y}\phi_Y|X(y|x)dy$

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二维离散型随机变量

二维连续型随机变量