离散型随机变量
离散型随机变量(Discrete Type Random Variable)
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什么是离散型随机变量[1]
设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散型随机变量。
设X1，X2，…是随机变量X的所有可能取值，对每个取值Xi，X = xi是其样本空间S上的一个事件，为描述随机变量X，还需知道这些事件发生的可能性(概率)。
定义1 设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i=1，2，…)，
P(X = xi) = Pi,i = 1,2,...
称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。
常用表格形式来表示X的概率分布：
| X | x1 | x2 | ... | xn | ... |
| Pi | p1 | p2 | ... | pn | ... |
由概率的定义，Pi(i = 1,2,...)必然满足：
(1)
，i=1, 2, …；
| ∑ | Pi = 1 |
| i |
【例1】 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布．[2]
解 X可取0，1，2为值，记Ai={第i次投中篮圈}，i=1，2，则P(A1) = P(A2) = 0.9
，
，
且 PX = 0 + PX = 1 + Px = 2 = 1
于是，X的概率分布可表示为
| X | 0 | 1 | 2 |
| P_i | 0.01 | 0.18 | 0.81 |
关于分布律的说明
若已知一个离散型随机变量X的概率分布：
| X | x_1 | x_2 | ... | x_n | ... |
| P_i | p_1 | p_2 | ... | p_n | ... |
则可以求得X所生成的任何事件的概率，特别地，
，
例如，设X的概率分布由例1给出，则
P{x<2}=P{x=0}+P{X=l}=0.0l+0.18=0.19
P{
}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
常见的离散型随机变量的分布[3]
(1)两点分布(0-1分布)
若随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P{X=1}=p，PX = 0 = l − P(0 < P < 1)，则称X服从参数为p的两点分布，记作X~B(1, p)。其分布函数为
(2)二项分布
若随机变量X的分布律为
(k=0, 1, 2, ..., n) 且0<P<1，则称X服从参数为n，P的二项分布，记作x~B(n，P)。
(3)泊松(Poisson)分布
若随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，它取各个值的概率为
，(k=0,1,2，…)
式中：λ > 0是常数，则称X服从参数为 λ 的泊松分布，记为X ~ Π(λ)。