下面是一道2017年陕西中考数学的压轴大题,满分12分,共三问,前两问相对简单一点,第三问综合性较强,要想拿到满分还是很不容易的,不妨来试试你能拿到多少分呢?
问题提出
(1)如图①,△ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为( );
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌.)同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图③,已测出AB=24m,MB=10m,△AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8m.
请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米)
【分析】(1)构建Rt△AOD中,利用cos∠OAD=cos30°,可得OA的长;
(2)经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分,根据此结论作出PQ,利用勾股定理进行计算即可;
(3)如图3,作辅助线,先确定圆心和半径,根据勾股定理计算半径:
在Rt△AOD中,r²=12² (r﹣8)²,解得:r=13根据三角形面积计算高MN的长,证明△ADC∽△ANM,列比例式求DC的长,确定点O在△AMB内部,利用勾股定理计算OM,则最大距离FM的长可利用相加得出结论.
【解答】解:(1)如图1,过O作OD⊥AC于D,则AD=1/2AC=1/2×12=6,
∵O是内心,△ABC是等边三角形,
∴∠OAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°,
在Rt△AOD中,cos∠OAD=cos30°=AD/OA,
∴OA=4√3,
故答案为:4√3;
(2)存在,如图2,连接AC、BD交于点O,连接PO并延长交BC于Q,则线段PQ将矩形ABCD的面积平分,
∵点O为矩形ABCD的对称中心,
∴CQ=AP=3,
过P作PM⊥BC于点,则PM=AB=12,MQ=18﹣3﹣3=12,
由勾股定理得:PQ=12√2;
(3)如图3,作射线ED交AM于点C
∵AD=DB,ED⊥AB,弧AB是劣弧,
∴弧
B所在圆的圆心在射线DC上,
假设圆心为O,半径为r,连接OA,则OA=r,OD=r﹣8,AD=1/2AB=12,
在Rt△AOD中,r²=12² (r﹣8)²,
解得:r=13,
∴OD=5,
过点M作MN⊥AB,垂足为N,
∵S△ABM=96,AB=24,
∴1/2AB·MN=96,
1/2×24×MN=96,
∴MN=8,NB=6,AN=18,
∵CD∥MN,
∴△ADC∽△ANM,
∴DC:MN=AD:AN,
∴DC=16/3,
∴OD<CD,
∴点O在△AMB内部,
∴连接MO并延长交AB弧于点F,则MF为草坪上的点到M点的最大距离,
∵在AB弧上任取一点异于点F的点G,连接GO,GM,
∴MF=OM OF=OM OG>MG,
即MF>MG,
过O作OH⊥MN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3,
∴OM=√(MH² OH²)=3√5,
∴MF=OM r=3√5 13≈19.71(米),
答:喷灌龙头的射程至少为19.71米.
本题是圆的综合题,综合性非常强,考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理、等边三角形的性质及内心的定义、特殊的三角函数值、矩形的性质等知识,明确在特殊的四边形中将面积平分的直线一定过对角线的交点,本题的第三问比较复杂,辅助线的作出是关键,根据三角形的三角关系确定其最大射程为MF.