题主提到了一个神奇的数 142857。 这个数的神奇之处在于，它的 2 倍到 6 倍是这 6 个数字的一个排列，并且如果把 142857 写两遍：142857142857， 则它的 2 倍到 6 倍 恰好是这 12 个数字中的连续 6 位：
142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142
看起来特别神奇是吧？拥有这种性质的数我们称之为 “走马灯数”，其性质就像下图那样：
“走马灯数”看起来是如此神奇，直觉告诉我们，这样的数非常罕见，然而，真的是这样吗？
我们注意到，142857*7=999999，而这，正是走马灯数的奥妙所在。
如果你学过极限，应该会认同 1=0.99999999……而 142857*7=999999，意味着 142857 正是 1/7 的循环节。相信对于学过数学的人来说，竖式计算一定不陌生，就像下图所示：
参见图中的彩色数字，我们发现，在作除法的过程中，余数为 1~6 的情况恰好都出现了。
这就不难解释为什么 142857 的 2~6 倍都是循环节的一部分：因为任何不能被 7 整除的数，余数必然是 1~6 中的一个，因此必然会落入相同的循环劫中啊！
看到这里，我们恍然大悟：如果 1/n 在做竖式除法的过程中，余数恰好遍历了 1,2，……，n-1，那么其循环节必然也是“走马灯数”。
在数学上可以严格证明，这个性质等价于：当 p 为素数，且 10 为模 p 的一个原根时， 1/p 的循环节是 “走马灯数” （反过来其实也成立）。
著名的数列网站 OIES 给出了这样的一个数列（A001913）：
数列的第一项就是大名鼎鼎的 7。第二项是 17，
1/17= 0.0588235294117647 （循环）
这就意味着： 588235294117647 也是一个“走马灯数”：
588235294117647 *2= 1176470588235294588235294117647 *3= 1764705882352941588235294117647 *4= 2352941176470588588235294117647 *5= 2941176470588235……
类似地，1/19， 1/23， 1/29…… 的循环节，也能产出对应的 “走马灯数”。
原本我们以为，像 142857 这样的走马灯数，是凤毛麟角，不可多得的，没想到，它其实也很常见啦！