“分形几何”（fractal geometry）,也称分形几何学；它是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何的研究对象为非负实数维数，如0.63、1.58、2.72等。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何又被称为“大自然的几何学”。正如中国著名学者周海中教授说的那样：“分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。”
1973年，美籍法国数学家、分形几何学之父——伯努瓦·曼德尔布罗教授在法兰西科学院讲学期间，率先提出了分形几何的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多自然现象的有力工具。这位数学和计算机科学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》和《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractal theory)。
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国著名学者约翰•惠勒曾经说过：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”由此可见分形的重要性。分形几何作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
分形是客观世界普遍存在的现象，为揭示事物本质提供了新的概念和方法；研究分形是探讨复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，也是科学探索的必然。分形几何具有广阔的应用前景，许多学科领域都在开展对分形理论应用的探索和研究。根据分形的观点，自然界中许多难以定量描述的、复杂的形状、事件等都可从中找到自相似结构，并可用分形对其进行描述。例如自然界中的云朵、山脉、海岸线、雪花结构、河流流域的形状；动物中的血管、肺部和大脑的结构等都可观察到分形这一现象；许多植物中也有分形结构。
分形几何在数学、物理学、生物学、经济学等许多科学领域中都得到了广泛的应用，甚至对流行文化领域也产生了重要影响。例如在1970年代后期曼德尔布罗集合成为一种文化符号，被大量印制在T恤、棒球帽和帆布包上。今天，人们可以在网络上，浏览与欣赏各种不同风格且优美奇妙的分形作品，这类作品一般是运用迭代法并通过计算机处理才能表现出来的；有的针对科学研究中要表达的一些特别的对象，有的则完全是艺术。美妙神奇的分形图画，有时令人心旷神怡，有时又令人眼花缭乱。
分形几何使我们看到从《星际迷航》《星球大战》直到《指环王》《阿凡达》《让子弹飞》等影片中的一幕幕激动人心的特效场景，把手机天线缩小到能够藏进机身，使飞机仪表板设计得更加一目了然，让屋内装修设计得更加舒适美观......顺带一提，英国的数学“极客”丹尼尔·怀特利用特定的数学方程式，经过反复运用迭代算法，最终创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案；这组图案被著名杂志——《自然》（Nature）评为“2009年度十大科学图片”之一。
分形几何为我们提供了一种发现结构和秩序的新方法，不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。它既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。它揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序。毫无疑问，分形几何的应用将会越来越广泛。
文/刘嘉良(作者单位：法国索邦大学理学院)