代数簇及其方程。
编辑 | 绿萝
代数几何是两种数学分支的融合，一端是代数——关于方程的研究，另一端是几何——关于形状的研究。代数几何所做的就是将抽象的代数中解决问题的方法应用到几何中复杂而具体的形状、曲面、空间和曲线。
代数几何的基本问题是对一组多项式方程的解集进行分类，简单说来就是对空间进行分类。其研究的基本对象名为代数簇（Algebraic variety），也就是多项式方程组的解集的几何表示。
而法诺簇（Fano variety）是一类重要的代数簇。从某种意义上说，它们是数学形状的「原子片段」（Atomic pieces）。法诺簇在弦理论中也起着重要的作用。
法诺簇是几何形状的基本构建块，它们是数学形状的「原子块」。法诺簇分类的最新进展包括分析一个称为量子周期（Quantum period）的不变性。这是一系列整数，为法诺簇提供了数值指纹。据推测，法诺簇是由其量子周期唯一决定的。如果这是真的，则应该能够直接从其量子周期恢复法诺簇的几何特性。
近日，来自诺丁汉大学（University of Nottingham）和伦敦帝国学院（Imperial College London）的数学家首次使用机器学习来扩展和加速识别「原子形状」（Atomic shapes）的研究，这些「原子形状」构成了更高维度的基本几何形状。
具体而言，研究人员将机器学习应用于一个问题：X 的量子周期是否知道 X 的维度？请注意，尚无对此的理论理解。研究表明，简单的前馈神经网络可以以 98％ 的精度确定 X 的维度。在此基础上，研究人员在一类法诺簇的量子周期内建立了严格的渐近性。这些渐近性决定了 X 的量子周期的维度。结果表明，在缺乏理论理解的情况下，机器学习可以从复杂的数学数据中挑选结构。他们还为猜想提供了积极的证据，即法诺簇的量子周期决定了多样性。
该研究以《Machine learning the dimension of a Fano variety》为题，于 2023 年 9 月 8 日发布在《Nature Communications》上。
该研究小组几年前就开始了创建形状元素周期表的研究。原子碎片被称为法诺簇。该团队将一组称为量子周期的数字序列与每个形状联系起来，给出描述形状的「条形码」或「指纹」。他们最近的突破使用了一种新的机器学习方法来快速筛选这些条形码，从而识别形状及其属性，例如每个形状的尺寸。
Alexander Kasprzyk 说：「对于数学家来说，关键步骤是确定在给定问题中的模式。这可能非常困难，一些数学理论可能需要数年的时间才能发现。」
Tom Coates 教授说：「这是人工智能可以真正彻底改变数学的地方，因为我们已经证明机器学习是在代数和几何等复杂领域中发现模式的强大工具。」
Sara Veneziale 说：「我们对可以在纯数学中使用机器学习的事实感到非常兴奋。这将加速整个领域的新见解。」
总之，该研究表明，机器学习可以在复杂的数学数据中发现以前未知的结构，并且是开发严格数学结果的强大工具。它还提供了法诺簇程序中基本猜想的证据：法诺簇的正则量子周期决定了这种变化。
