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边际替代率

  	      	      	    	    	      	    
边际替代率（Marginal rate of substitution，MRS）  
 
目录
  
 
 边际替代率概述 
 
　　在维持效用水平或满足程度不变的前提下，消费者增加1单位的某种商品X的消费时，所需要放弃的另一种商品Y的消费数量，被称为商品的边际替代率。[1] 
　　在帕累托最优情况下，任意两种商品的边际替代率是相同的。 
 
 边际替代率公式 
 
　　商品X对商品Y的边际替代率公式为 
 
\mathbf{MRS_{XY}=-\frac{\Delta Q_Y}{\Delta Q_X}=-\lim_{\Delta Q_X \to      0}\frac{\Delta Q_Y}{\Delta Q_X}=-\frac{dQ_Y}{dQ_X}} 
 
　　其中 
 
  • \mathbf{\Delta Q_X}表示商品X的变化量 
  • \mathbf{\Delta Q_Y}表示商品Y的变化量 
 
　　由于\mathbf{\Delta Q_X}是增加量，而\mathbf{\Delta Q_Y}是减少量，故两者的符号是相反的，为使\mathbf{MRS_{XY}}保持正数，必须增加一个负号。 

 Image:边际替代率公式.jpg 
 
 商品的边际替代率递减规律[2]
 
　　在维持效用水平或满足程度不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。 
　　在研究商品替代关系时，我们注重的是它的绝对值，因此通常省去负号，从数学上看，MRS是沿无差异曲线作微量移动时的变化率，所以它从实际上是无差异曲线的斜率，这可从下图中得到说明。 
商品边际替代率 
　　用上图表示商品的边际替代率，横轴为商品X数量，纵轴为商品Y数量，I为无异曲线。X对Y的边际替代率，为X的增加数与Y的减少数之比： 
　　MRS_{XY}=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}=-\frac{AS}{SB}=-\frac{\triangle Y}{\triangle X} 
　　当点A沿着无异曲线I越接近点B时，\frac{\triangle Y}{\triangle X} 越接近点B切线的斜率。因此，就点B附近的微小变动来说，X对Y的边际替代率就是无异曲线I在点B切线的斜率。 
　　由于消费者愿意以X1X2的X换取Y2Y1的Y，说明它们的边际效用(Marginal Utility)相等。 
　　\triangle X\cdot MU_X=-\triangle Y\cdot MU_Y 
　　-\frac{\triangle Y}{\triangle X}=\frac{MU_X}{MU_Y} 
　　所以，X对Y的边际替代率，实际上是其边际效用之比 
　　\mathbf{MRS_{XY}=\frac{MU_X}{MU_Y}} 
　　商品X对商品Y的边际替代率，也可以用微分法求得：就任何一条无异曲线来说，由于曲线上任何一点都代表同样的偏好，所以总效用函数可以表示为： 
　　TU = f(X,Y) = k 
　　这就是说，X，Y商品组合的任何变动都不会引起总效用的变动。对上式微分，可得： 
　　其中，\frac{\partial TU}{\partial X},\frac{\partial TU}{\partial Y}分别MUX、MUY，即商品X，Y的边际效用。\frac{\partial TU}{\partial X}dX,\frac{\partial TU}{\partial Y}dY分别表示X，Y的微小变动所引起TU的变动。 
　　由上式可得： 
　　-\frac{\partial TU}{\partial Y}dY=\frac{\partial TU}{\partial X}dX 
　　-\frac{dY}{dX}=\frac{\frac{\partial TU}{\partial X}}{\frac{\partial TU}{\partial Y}}=\frac{MU_X}{MU_Y} 
　　序数效用论者在分析消费者行为时提出了商品的边际代替率递减规律的假定。 
　　商品的边际替代率递减规律是指：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。例如：在上图中，在消费者由X点经Y、C、D点，运动到E点的过程中，随着消费者对商品X的消费量的连续的等量的增加，消费者为得到每一单位的商品X所需放弃的商品Y的消费量是越来越少的。也就是说，对于连续的等量的商品X的变化量\triangle X_1而言，商品Y的变化量ΔY是递减的。 
　　商品的边际替代率递减的原因在于：当消费者处于商品X的数量较少和商品Y的数量较多的A点时，消费者会由于拥有较少数量的商品X而对每一单位的商品X较为偏好，同时，会由于拥有较多数量的商品Y而对每一单位的商品Y的偏爱程度较低。于是，每一单位的商品X所能替代的商品Y的数量是比较多的，即商品的边际替代率是比较大。但是，随着消费者由A点逐步运动到D点，消费者拥有的商品X的数量会越来越多，相应地，对每一单位商品X的偏爱程度会越来越低；与此同时，消费者拥的商品Y的数量会越来越少，相应地，对每一单位商品Y的偏爱程度会越来越高。于是，每一单位的商品X所能替代的商品Y的数量便越来越少。也就是说，商品的边际替代率是递减的。 
　　从几何意义上讲，商品的边际替代率递减表示无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。商品的边际替代率递减规律决定了无差异线的形状凸向原点。但在某些情况下则不然：如果对于消费者来说，两种商品是完全替代品，那么，相应的无差异曲线为一条斜率不变的直线，商品的边际替代率MRSXY为一常数。例如，若两斤玉米粉总是可以完全替代一斤面粉，则无差异曲线如图(a)所示。如果对于消费者来说两种商品是完全互补品，那么，相应的无差异曲线呈现直角形状，与横轴平行的无差异曲线部分的商品的边际替代率MRSXY = 0。 
完全替代品和完全互补品的无差异曲线的形状 完全替代品和完全互补品的无差异曲线的形状 
　　与纵轴平行的无差异曲线部分的商品的边际替代率MRS_{XY}=\infty。例如，总是要按一副眼镜架和两片眼镜片的比例配合在一起，眼镜才能够使用。这种情况下的无差异曲线如图（b）所示。 
 
 边际效用、无差异曲线和边际替代率关系 
 
　　边际效用是增加一个单位消费品的消耗所增加的效用，即所增加的满足程度。随着消费品的增加，边际效用是递减的。 
　　正由于边际效用递减，边际替代率递减，从而导致无差异曲线凸向原点。 
 
 相关条目 
  
 参考文献 
 
 
  1. ↑ 江绪林.解释和严密化:作为理性选择模型的罗尔斯契约论证[J].中国社会科学.2009,5
    2.  
  2. ↑ 刘辉煌.西方经济学.湖南大学.