整数规划

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整数规划(integer programming)

什么是整数规划

　　整数规划是指一类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学规划。是近三十年来发展起来的、规划论的一个分支. 整数规划问题是要求决策变量取整数值的线性规划或非线性规划问题。

　　一般认为非线性的整数规划可分成线性部分和整数部分，因此常常把整数规划作为线性规划的特殊部分。在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求解答必须是整数。例如，所求解是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。

　　整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。

　　0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。

整数规划与组合最优化的关系

　　整数规划与组合最优化从广泛的意义上说，两者的领域是一致的，都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定标准的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险队问题（组合学的覆盖问题）、送货问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。

整数规划的种类

　　整数规划又分为：

　　1、纯整数规划：所有决策变量均要求为整数的整数规划

　　2、混合整数规划：部分决策变量均要求为整数的整数规划

　　3、纯0－1整数规划：所有决策变量均要求为0－1的整数规划

　　4、混合0－1规划：部分决策变量均要求为0－1的整数规划

　　整数规划与线性规划不同这处只在于增加了整数约束。不考虑整数约束所得到的线性规划称为整数规划的线性松弛模型。

整数规划模型

　　在现实生活中，决策变量代表产品的件数、个数、台数、箱数、艘数、辆数等等，则变量就只能取整数值. 如截料模型实际上就是一个整数规划模型，该例的决策变量代表所截钢管的根数，显然只能取整数值。因而整数规划模型也有着广泛的应用领域，从以下的几个例子中更可以窥其一斑。

　　[例1]　　某厂在一计划期内拟生产甲、乙两种大型设备. 该厂有充分的生产能力来加工制造这两种设备的全部零件，所需原材料和能源也可满足供应，但A、B两种紧缺物资的供应受到严格限制，每台设备所需原材料如下表所示. 问该厂在本计划期内应安排生产甲、乙设备多少台，才能使利润达到最大？

原料设备	甲	乙	可供资源数量
A（吨）	1	1	6
B（千克）	5	9	45
每台单位利润（万元）	5	6

　　解：设 $x 1, x 2$ 分别为该计划期内生产甲、乙设备的台数，Z为生产这两种设备可获得的总利润.显然 $x 1, x 2$ 都须是非负整数，因此它是一个(纯)整数规划问题，其数学模型为：

　　max　　 $Z = 5 x 1 + 8 x 2$

　　s.t.　　 $x 1 + x 26$

　　　　　　 $5 x 1 + 9 x 245$

　　　　　　 $x 1, x 2$ 0

　　　　　　 $x 1, x 2$ 为整数

　　[例2]　　(投资决策模型)设有n个投资项目，其中第j个项目需要资金aj万元，将来可获利润cj万元。若现有资金总额为b万元，则应选择那些投资项目，才能获利最大？　　解：设：

　　这里j＝1，2，…n设Z为可获得的总利润(万元)，则该问题的数学模型为：

　　max　 $Z=\sum^{n}_{j=1}c_j x_j$

　　s.t.　 $\sum^{n}_{j=1}a_j x_j\le b$

　　　　　 $x j$ =0　or　1 $(j = 1,2,Λ, n)$

　　[例3]　　(物资调拨模型)某厂拟用a元资金生产m种设备 $A_1,A_2,\ldots A_m$ 其中设备Ai单位成本为 $p i$ (i＝1，2，…，m)。预计将一台设备 $A i$ 在 $B j$ 处销售可获利 $x i j$ 元，则应如何调拨这些设备，才能使预计总利润为最大？

　　解设 $y i$ 为生产设备 $A i$ 的台数， $x i j$ 为将设备 $A i$ 调拨到 $B j$ 处销售的台数，Z为预计总利润(元). 则该问题的数学模型为：

　　max　 $z=\sum^{m}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}c_{ij}x_{ij}$

　　s.t.　 $\sum^{n}_{j=1}x_{ij}\le y_i$ 　　 $(i = 1,2,Λ, m)$

　　　　　 $\sum^{m}_{i=1}x_{ij}\le b_j$ 　　 $(j = 1,2,Λ, n)$

　　　　　 $\sum^{m}_{i=1}p_j y_j\le a$

　　　　　 $x_{ij}\ge0,y_i\ge0$

　　　　　 $x i j, y i$ 均为整数

　　[例4]　　(选址问题)某种商品有n个销地，各销地每月的需求量分别为bj吨(j＝1，2，…，n).。现拟在m个地点中选址建厂，来生产这种产品以满足供应，且规定一个地址最多只能建一个工厂。若选址i建厂，将来生产能力每月为ai吨，生产成本每月为di元(i＝1，2，…，m). 已知从i至销地j的运价为cij元/吨. 应如何选择厂址和安排调运，能使总的最少？

　　解设每月从厂址i至销地j的运量为x_{ij}吨，z为每月的总费用(元)，

　　则该问题的数学模型为：

　　min　　 $z=\sum^{m}_{i=1}\sum{n}_{j=1}c_{ij}x_{ij}+\sum^{m}_{i=1}d_i y_i$

　　s.t.　　 $\sum^{n}_{j=1}x_{ij}\le a_{i}y_i$ 　　 $(i = 1,2,Λ, m)$

　　　　　　 $\sum^{m}_{i}x_{ij}=b_j$ 　　 $(j = 1,2,Λ, m)$

　　　　　　 $x_{ij}\ge0,y_i=$ 0　or　1

　　求解整数规划的一种自然的想法是，能否用整数规划的线性松弛模型的最优解经过四舍五入得到整数规划的最优解呢？回答是否定的，因为这样四舍五入的结果甚至不是可行解。

　　整数规划比通常的线性规划更加难以求解，迄今求解整数规划其基本求解思路都是按一定的搜索规则，在整数规划的线性松弛模型的可行域内寻找出整数最优解（或确认无整数最优解），因此求整数规划的解需要更多的时间，现通用的解法，主要有分支定界法、割平面法和穷举法等。

整数规划案例分析

案例一:整数规划在多方案选择中的应用^[1]

　　在经济建设中，企业总有各种各样的投资机会，每一种投资机会又有多种的投资方式，每一种投资方式都称为一个投资方案，所以经济建设中企业总有多方案可供选择，同时需要大量的资源，而资源是有限的，因此企业要根据有限的资源确定投资方案的顺序，使有限的资源取得最大的效益。即经济建设中企业要进行多方案的最佳选择。

　　一、多方案选择的传统方法

　　多方案的选择，必须明确各方案之间的关系，方案之间关系不同，其选择的方法也不同。方案之间的关系可以概括为互斥型、独立型和混合型。

　　1.互斥型方案的选择

　　互斥方案就是相互之间存在互不相容、互相排斥关系的一组方案。互斥方案经济效果评比的实质是判断增量投资的经济合理性，评比的基本方法是增量分析法，根据反映增量经济效果的指标的不同，增量分析法可细分为静态的差额投资收益率法和差额投资回收期法、动态的差额净现值法和差额内部收益率法等。由于资金时间价值是客观存在、不容忽视的，动态评价方法对互斥方案的评价更为客观科学，因此，实际工作中，主要应用差额净现值法和差额内部收益率法评比互斥方案，其中由差额净现值法导出了净现值最大准则和净年值最大准则，净现值最大准则用于寿命期相同的互斥方案评比，净年值最大准则用于寿命期不同的互斥方案评比。用NPV和NAV评比互斥方案可以把绝对经济效果评价与相对经济效果比较结合起来，直接进行方案的选择，而△NPV和△IRR只适用于方案的比较而不适用于方案的选择。

　　2.独立型方案的选择

　　独立方案是相互之间互不影响的一组方案。受资源限制的独立方案的选择方法有两种，即独立方案的互斥化法和双向均衡排序法。

　　(1)独立方案的互斥化法。该方法首先把各独立方案形成互斥的方案组合；其次选出能满足资金限制的方案组合；最后用互斥方案评选方法评选最优方案组。

　　该方法的优点是保证能选出受资源限制的情况下收益最大的方案组合。其不足是当独立方案数目较多时，形成的互斥方案组的数目众多，计算复杂：每一个独立方案都有拒绝或接受两种可能，如果有N个互相独立的方案，所形成的互斥方案组合就有 $2 n$ 个。

　　(2)独立方案的双向均衡排序法。该方法首先计算各独立项目的约束资源的效率，并由大到小排序，若约束资源是资金，其效率指标为NPVR或IRR；其次依次计算各方案的资源代价率及各方案组的资源总代价，各方案的资源代价率即各方案的资源消耗量，各方案组资源总代价即各方案组的资源?肖耗总量；第三画图并标注有关约束条件，如资源限额、基准收益率等；最后选出最优方案组。

　　该方法在资源充分利用的前提下，才能保证所选取的方案组是取得最大收益的方案组，但是若所选取的方案组没有使资源完全用尽，那么该方案组可能不是真正的最优方案组。

　　3.混合型方案的选择

　　混合方案即互相之间既有互相独立、又有互相排斥关系的一组方案，也称为层混方案，即方案之间的关系分为两个层次，高层是互相独立的项目，而低层则由构成每个独立项目的互斥方案组成。受资源限制的混合方案的评选也分为互斥化法和双向均衡排序法。

　　(1)层混方案的互斥化法。该方法的评选步骤和优点与独立方案的互斥化法相同，只是在形成互斥方案组合时，是从互相独立的每个项目中，至多选出一个方案来形成各种互斥的组合。

　　该方法的不足也是当方案数目较多时，计算非常复杂。例如：共有M个互相独立的项目，第t个项目有 $N t$ 个互斥方案，可以组成互相排斥的方案组合数是： $N=\prod_{t=1}^M (N_t+1)=(N_1+1)\land(N_M+1)$ 。

　　(2)层混方案的双向均衡排序法。该方法用增量效率指标来反映互斥方案的经济效果，所以也称增量效率指标排序法。具体步骤：

淘汰无资格方案：若 $\frac{\triangle R}{\triangle I_{k-1,k}}<\frac{\triangle R}{\triangle I_{k,k+1}}$ ,则方案k为无资格方案，即如果一笔基础投资的利用效率低于其增量投资的利用效率，那么就认为该基础投资方案是无资格方案，应予以淘汰；

计算有资格方案的约束资源的增量效率指标，并按该指标由大到小排序，受资金限制的层混方案的约束资源增量效率指标为△IRR、△NPVR、△R／△I等；

计算资源代价率及资源代价并绘图；

标注资源约束条件，如资源限额、基准收益率等；

比选最优方案组。

　　该方法的不足是如果资源约束线分割了方案，那么所选择的方案组可能不是真正的最优方案组；如果被分割的方案恰好包含无资格方案，那么真正的最优方案组可能恰恰包含被当作无资格方案淘汰掉的方案。

　　二、整数规划在多方案选择中的应用

　　传统方法一般只能对受一种资源约束的多方案进行选择，而整数规划可以解决受多种资源约束的多方案选择问题，并克服传统方法的不足，保证选出受资源限制情况下的收益最大的方案组合。

　　1.评选目标

　　考虑到方案间的经济寿命可能不相等，用净年值最大作为评选目标。

　　目标函数：

　　 $\max NAV=\sum_{j=1}^m\sum_{t=0}^n(CI-CO)_{tj}(P/F,i,t)(A/P,i,n)\cdot X_j,X_j=0,1$ 。

　　 $(C I - C O) t j$ 方案j在第t年的净现金流量；m：方案的总个数；n：方案i的经济寿命； $X j$ ：决策变量， $X j = 0$ 表示放弃i方案， $X j = 1$ 表示接受方案。

　　2.结束条件

　　由具体情况而定，一般由资源约束和关系约束组成：

　　(1)资源约束(资金、人工、设备、原材料等): $\sum_{j=1}^m C_{tj}\le B_t,$ 且 $\sum_{j=1}^m\sum_{t=1}^n C_{tj}\le B,$ ，式中： $C t j$ ：方案i在第t年耗用的资源量； $B t$ ：第t年的资源可用量；B：资源总量。

　　(2)关系约束：

互斥方案的约束： $\sum_{j=1}^m X_j\le1$ ,表示m个方案中最多只能选取一个。

独立方案的约束： $\sum_{j=1}^m X_j\le m$ ,示m个方案中每一个都可以被选中。

混合方案的约束: $\sum_{k=1}^m\sum_{j=1}^{m_1}X_{kj}\le m$ 且 $\sum_{j=1}^{m_1}X_{kj}\le1$ ，式中：K为互相独立的项目数； $m 1$ 为第k个项目的互斥方案数目。

从属关系约束 $X_A-X_B\le0$ ，表示A方案只有当B方案选用时才有意义，即不选用B方案就不能选用A方案。

严格互补关系约束： $X C - X D = 0$ ，表示C方案和方案D必须同时选用或同时不选用。

　　三、整数规划对混合案选择的例证

　　例如某石化公司下属三个工厂各自独立，分别提出互斥型投资方案，如表。各投资方案的有效期均为l0年，基准收益率为10%。如果这个公司仅有80000万元可供投资，应如何选择方案对公司最有利?

工厂	A			B				C
方案	$A l$	$A 2$	$A 3$	$B l$	$B 2$	$B 3$	$B 4$	$C l$	$C 2$
投资	30000	40000	50000	l0000	20000	30000	40000	20000	30000
年净收益	9700	10800	13800	l630	5100	7170	8660	5000	8400

　　解：设目标函数为净年值最大，则目标函数：

　　math>\max NAV=\sum_{j=1}^9\sum_{t=0}^10(CI-CO)_{tj}(P/F,10%,t)(A/P,10%,10)\cdot X_j,X_j=0,1</math>。

　　约束条件： $\begin{cases}X_j=0,1\\3X_1+4X_2+5X_3+X_4+2X_5+3X_6+4X_7+2X_8+3X_9\le8\\X_1+X_2+X_3\le1\\X_4+X_5+X_6+X_7\le1\\X_8+X_9\le1\end{cases}$ 。

　　计算结果为： $X l = 1, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 = 0, X 5 = 1, X 6 = 0, X 7 = 0, X 8 = 0, X 9 = 1$ 。

　　即应选择 $A l$ 、 $B 2$ 、 $C 2$ 三个方案。

参考文献

↑ 王军.整数规划在多方案选择中的应用[J].技术经济,2004,(2)