HoLee模型

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什么是Ho-Lee模型

　　1986年托马斯·侯（Thomas.Y.Ho）和李尚宾（Sang-bing.Lee）二人在美国《金融杂志》12月号上发表了论文《期限结构运动与利率有条件要求权定价》，文章中提出了一个基于无套利机会假设的利率期限结构变动模型，人们称之为Ho-Lee模型。

　　Ho-Lee模型认为现在的利率期限结构包含有现时人们对利率预测的足够信息，因此在没有套利机会的假设下，利率期限结构的变动只能反映出这些信息，因而其变化情况是可测的。Ho-Lee模型分成两个部分，一是利率期限结构变动的模型，另一部分是该模型在利率期权定价中的应用。

二元格点结构

　　Ho-Lee模型考察贴现函数的变动，其最重要的部分是贴现函数的二元格点结构。对于贴现函数 $D s, t ( * )$ ，在初始时刻为零状态，记为 $D ( * ) = D 0.0 ( * )$ ，经过一时刻后，在时刻1，贴现函数可能出现两种状态：上升状态和下降状态，贴现函数分别为 $D 1.1 ( * )$ 和 $D 0.1 ( * )$ ，以后每经历一个上升状态，状态下标s增加1，否则不增加；时间下标t在每一时刻后增加1。这样，在时刻2有贴现函数 $D 2.2 ( * )$ ， $D 1,2 ( * )$ 和 $D 0,2 ( * )$ 。显然，这里出现一种路径无关现象，即贴现函数经历一次上升后下降 $D 0,0 ( * ) - - D 1,1 ( * ) - - D 1,2 ( * )$ 和经历一次下降后上升 $D 0,0 ( * ) - - D 0,1 ( * ) - - D 1,2 ( * )$ 完全相同， $D s, t (T)$ 只与经历的上升次数和下降次数有关而与时间路径无关。Ho-Lee模型将这种现象称为贴现函数与路径无关。

　　通常我们用收益率曲线而不用贴现函数来表示利率期限结构，因此须将贴现函数转为收益率曲线形式，收益率曲线为：

　　R（T）= - LnD（T）/T （3）

　　其中R（T）是到期期限为T的贴现债券的连续复利收益率。

Ho-Lee模型的基本假设

　　Ho-Lee模型的基本假设有以下几点：

　　1、市场是无摩擦的，既无税收费用，也不考虑交易费用，所有证券皆可分割。

　　2、市场并非连续出清，而是在有规则间隔的时点上出清。模型中以一段时隔为时间单位，定义期限为T的贴现债券为到第T期末偿付1美元的债券。

　　3、市场是完全的。对每一期限n，均有相对应的贴现债券存在。（n=0,1,2,3……）

　　4、在每一时刻n，仅存在有限种状态。定义 $P_i^{(n)}(T)$ 为在时刻n、状态i下期限为T的债券价格。这里， $P_i^{(n)}$ 是一以期限为变量的贴现债券价格函数，称为贴现函数。贴现函数必须满足下列条件：它们必须是正数，此外要求：

$P_i^{(n)}(0) = 1$ 　　　　　　　　　　　　(1)

$Lim_{i\to\infty}P_i^{(n)}(T) = 0$ 　　　　　　　　(2)

　　(1)式表明，贴现债券到期值为1美元。(2)表明期限极长的贴现债券之现值可忽略不计。

Ho-Lee模型的主要内容

　　Ho-Lee模型是建立在无套利假设基础上的，它现在已经成为分离时间框架基础上利率期限结构模型的一般原则。Ho-Lee模型的主要内容有：

　　1、初始利率期限结构的估计。首先必须确定一个期限结构或相应贴现函数的初始状态，一般来说要求所选择的债券能覆盖市场上大部分可得债券，并必须运用特定的函数形式，如指数形式。

　　2、利率变动的套利约束。利率期限结构被假设按满足某种自然约束的方式进行变化，Ho-Lee模型假定贴现函数依据下列原则随时间进行变化：

　　对所有（s,t）和T= 1,2,…,n,

　　 $D_{s+1,t+1}(T)=\frac{D_{s,t}(T+1)}{D_{s,t}(1)}hu(T)$ 　　　　　　(4)

　　和

　　 $D_{s,t+1}(T)=\frac{D_{s,t}(T+1)}{D_{s,t}(1)}hd(T)$ 　　　　(5)

　　其中hu(T)和hd(T)被称为扰动函数(Perturbation function )。注意 $\frac{D_{s,t}(T+1)}{D_{s,t}(1)}$ 是在结点（s,t）处隐含的T期远期利率。扰动函数hu(T)和hd(T)分别衡量了期限结构中上升状态和下降状态下利率同隐含远期利率的差额，因此期限结构的波动性就隐含在扰动函数中。在Ho-Lee模型中hu(T)和hd(T)被简化为与（s,t）无关而只与T有关。依据无套利假设，有 $D s, t (0) = 1$ ，且 $D s, t (T + 1) > D s, t (T)$ ，对所有（s,t）和T= 1,2,…,n；由于无套利机会，因此在点（s,t）处存在参数π，是一个不随（s,t）变化的常数，使得T期贴现函数在（s,t）的价格等于一时刻后债券价格的π权重线性组合的价值的现值，即:

　　 $\frac{D_{s,t}(T+1)}{D_{s,t}(1)} = \pi D_{s,t+1}(T)+(1-\pi)D_{s+1,t+1}(T)$ ，T= 1,2,…,n　　　　（6）

　　代入（4）、（5）式变化后，有：

　　πhd(T) + （1 - π）hu(T) = 1　　　　（7）

　　对于某一常数π和初始贴现函数 $D 0,0 (T)$ ，使得（7）式成立。

　　经过一番复杂的推导可以得到扰动函数hu(T)的唯一解为：

　　 $hu(T)= \frac{1}{\pi+(1-\pi)\delta^T}$ 　　　　（8）

　　将（8）代入（7）式，得：

　　 $hd(T)=\frac{\delta^T} {\pi+(1-\pi)\delta^T}$ 　　　　（9）

　　这样，我们得到了扰动函数的一般表达式，只要给定参数π、δ，就可以由公式（8）、（9）得到Ho-Lee模型的一般表达式，即可由初始的贴现函数D0,0（T）和参数π、δ来完全确定利率期限结构的变化。特别地，在更复杂的Ho-Lee模型的推广模型中，参数π、δ被看作是随状态s和时间t而变化。

　　Ho-Lee模型中的参数π被看作是一种风险中性概率，即恰好使得本时刻的T期限债券的价格等于本时刻后预期价格现值的概率，这一点反映在（6）中，因此π=（r-d）/（u-d），这里r是无风险收益，u和d分别是上升状态和下降状态的无风险收益。参数δ的解释稍稍复杂一些，正如Ho-Lee所指出的，δ决定了两个扰动函数hu(T)和hd(T)间的差额，差额越大，则期限结构的可变性越大，因此参数δ同期限结构的可变性直接相关，而且呈负相关关系，即δ越大，波动性越小。这一点可以由（12）式可以看出:

　　δ= 1 /[（1 -π）hu(1)] -π/（1 -π）　　　　（10）

　　因此δ越大，hu(1)越小，即波动性越小。

　　Ho-Lee模型指出，参数π、δ的估计，必须使用非线性估计方法来决定，使得某些或有要求权的理论价格能最好地符合观察到的价格。具体来说，是通过一个反复试错的过程来估计π、δ的值。首先观察一组不同期限的或有要求权的价格，以此来计算初始的π、δ，随后用它们来估计理论价格，再依据理论价格和观察到价格之间的差价来调整π、δ，使得理论价格尽可能符合观察到的价格。这一过程一直重复下去，直到最后理论价格充分接近市场价格。

Ho-Lee模型的评价

　　Ho-Lee模型用一种比较简单的方式来模拟利率期限结构随时间的可变性，这一模型使用从两个市场数据估计出来的参数π、δ驱动的，它使得债券价格的变化过程没有套利机会。由于它是由最初的利率期限结构决定的，因此它是一个相对定价模型，同时由最初期限结构的外生性决定利率期限结构的变化也是外生的，这不同于其他产生内在收益率曲线的模型，如短期利率随机过程模型。

　　Ho-Lee模型有几个不足之处：

　　1、它假设参数π、δ是不随着（s,t）的变化而变化，这意味着隐含的价格波动性是独立于时间变化的。但事实上，随着到期期限的临近，债券价格分布也将自动回归到到期平价，也就是说，隐含的波动性会随时间的推移而变小。

　　2、根据Ho-Lee模型假设的限制和初始条件，可能出现负的远期利率。Peter Ritchken & Kiekie Boenwan(1990)指出了这一缺陷并提出了修正方案，通过增加一个约束条件：

　　 $1= D_{s,t}(0)\ge D_{s,t}(1)\ge\cdots\ge D_{s,t}\cdots(T)$ 　　　　（11）

　　即可消除这一缺陷。

　　3、Ho-Lee模型隐含了一个所有利率的共同波动性，即长期利率和短期利率的波动性是相同的。但事实上长期利率的波动性要小于短期利率的波动性，这一点已经得到证明，即收益率曲线将随期限增加变得越来越平坦。

　　利率期限结构的研究在我国还处于初始阶段，这是由于我国的金融市场的实际情况决定的。利率期限结构研究首先要以利率市场化为前提，如果没有实现利率市场化，利率不能随资金市场供求关系的变化而变化，那么利率期限结构就无从谈起。

　　利率市场化和利率期限结构及其应用的研究是相互促进的两个方面。利率市场化程度越高，利率受各种市场因素的影响就越大，利率就具有更大的可变性，这时为了防范利率风险或是为了进行利率投机，利率期限结构及其应用的研究会更加受到重视，从而促进研究的进一步开展。反之，利率期限结构在债券组合管理中的应用越广泛，则债券管理人对市场利率的反应就更敏感，债券组合随市场利率变化而调整的频率就越高，这样市场利率就越能够反映市场各方力量对比，就越市场化。因此利率期限结构及其应用的研究和利率市场化程度密切相关，它以利率市场化为前提，同时又有利于利率的进一步市场化。随着我国利率市场化步伐的加快，利率期限结构及其应用的研究将会受到更多的关注。