秩和检验

  	      	      	    	    	      	    
秩和检验（Rank sum test） 
 
目录
 
 
1 什么是秩和检验
 
2 秩和检验的适用范围
 
3 秩和检验的方法
 
 
 
 什么是秩和检验 
 
　　秩和检验方法最早是由维尔克松提出，叫维尔克松两样本检验法。后来曼—惠特尼将其应用到两样本容量不等（）的情况，因而又称为曼—惠特尼U检验。这种方法主要用于比较两个独立样本的差异。 
　　1、假设中的等价问题 
　　设有两个连续型总体, 它们的概率密度函数分别为： 
　　f1(x),f2(x)(均为未知) 
　　已知f1(x) = f2(x − a)，a为末知常数，要检验的各假设为： 
 
H0:A = 0,H1:a < 0. 
H0:A = 0,H1:a > 0. 
. 
 
　　设两个总体的均值存在，分别记为μ1,μ2，由于f1,f2最多只差一平移，则有μ2 = μ1 − a。此时, 上述各假设分别等价于： 
 
H0:μ1 = μ2,H1:μ1 < μ2 
H0:μ1 = μ2,H1:μ1 > μ2 
 
 
　　2、秩的定义 
　　设X为一总体，将容量为n的样本观察值按自小到大的次序编号排列成x(1) < x(2) < Λ < x(n),称x(i)的足标i为x(i)的秩，i = 1,2,Λ,n。 
　　例如：某施行团人员的行李重量数据如表： 
 
 
 
重量（kg）
34
39
41
28
33 
 
　　写出重量33的秩。 
　　因为28<33<34<39<41，故33的秩为2。 
　　特殊情况： 
　　如果在排列大小时出现了相同大小的观察值, 则其秩的定义为足标的平均值。 
　　例如: 抽得的样本观察值按次序排成0,1,1,1,2,3,3,  
 
则3个1的秩均为, 
两个3的秩均为. 
 
　　3、秩和的定义 
　　现设1，2两总体分别抽取容量为n1,n2的样本，且设两样本独立。这里总假定。 
　　我们将这n1 + n2个观察值放在一起，按自小到大的次序排列，求出每个观察值的秩，然后将属于第1个总体的样本观察值的秩相加，其和记为R1，称为第1样本的秩和，其余观察值的秩的总和记作R2，称为第2样本的秩和。 
　　显然，R1和R2是离散型随机变量，且有 
　　4、秩和检验法的定义 
　　秩和检验是一种非参数检验法, 它是一种用样本秩来代替样本值的检验法。 
　　用秩和检验可以检验两个总体的分布函数是否相等的问题 
 
 秩和检验的适用范围 
 
　　如果两个样本来自两个独立的但非正态或形态不清的两总体，要检验两样本之间的差异是否显著，不应运用参数检验中的T检验，而需采用秩和检验。 
 
 秩和检验的方法 
 
　　1、两个样本的容量均小于10的检验方法 
　　检验的具体步骤： 
　　第一步：将两个样本数据混合并由小到大进行等级排列（最小的数据秩次编为1，最大的数据秩次编为n1 + n2）。 
　　第二步：把容量较小的样本中各数据的等级相加，即秩和，用T表示。 
　　第三步：把T值与秩和检验表中某α显著性水平下的临界值相比较，如果T1 < T < T2，则两样本差异不显著；如果或，则表明两样本差异显著。 
　　例：某年级随机抽取6名男生和8名女生的英语考试成绩如表1所示。问该年级男女生的英语成绩是否存在显著差异？ 
　　　　　　　　 男、女生英语考试成绩表 
 
　　解：检验步骤： 
　　（1）建立假设： 
 
H0：男女生的英语成绩不存在显著差异 
H1：男女生的英语成绩存在显著差异 
 
　　（2）编排秩次，求秩和： 
　　T= 13 + 7 + 14 + 12 + 5.5 + 11= 62.5 
　　（3）统计推断：根据n1 = 6,n2 = 8,α = 0.05， 查秩和检验表，T的上、下限分别为T1 = 29,T2 = 61，有T > T2，结论是：男女生的英语成绩存在显著差异。 
　　3、两个样本的容量均大于10的检验方法 
　　当两个样本容量都大于10时，秩和T的分布接近于正态分布，因此可以用Z检验，其基本公式为： 
　　 
　　式中：T为较小的样本的秩和。 
　　例:某校演讲比赛后随即抽出两组学生的比赛成绩如表2，问两组成绩是否有显著差异？ 
 
　　解：检验步骤： 
　　（1）建立假设： 
 
H0：两组成绩不存在显著差异 
H1：两组成绩存在显著差异 
 
　　（2）编排秩次，求秩和： 
        n1 = 12,n2 = 14,T = 144.5，代入公式，有： 
　　 
　　（3）统计推断：因为|Z|<1.96，则应保留虚无假设，拒绝备择假设。结论是：两组的演讲比赛成绩不存在显著差异。