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理发师悖论

  	      	      	    	    	      	    
理发师悖论（Barber paradox） 
 
目录
  
 
什么是理发师悖论
 
　　理发师悖论是罗素悖论的通俗举例，是由伯特兰·罗素在1901年提出的。罗素悖论的出现是由于朴素集合论对于元素的不加限制的定义。由于当时集合论已成为数学理论的基础，这一悖论的出现直接导致了第三次数学危机，也引发了众多的数学家对这一问题的补救，最终形成了现在的公理化集合论。同时，罗素悖论的出现促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性。 
 
理发师悖论的内容
 
　　一个城市里唯一的理发师立下了以下的规定:只帮那些自己不理发的人理发。 
　　现在问一个问题:理发师应该为自己理发吗? 
　　你会发现理发师处于两难,因为: 
 
  • 如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发. 
 
  • 如果理发师是自己理发的，他需要遵守规则，不给自己理发 
 
　　换用集合语言： 
　　可以把集合分为两类，凡不以自身为元素的集合称为第一类集合；凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。显然每个集合或为第一类集合或为第二类集合。设\mathbf{A}为第一类集合的全体组成的集合。 
 
  • 如果\mathbf{A}是第一类集合，由集合\mathbf{A}的定义知:\mathbf{A}应该是\mathbf{A}的元素，这表明\mathbf{A}是第二类集合 
 
  • 如果\mathbf{A}是第二类集合，那么\mathbf{A}是它自身的元素 
 
　　二者皆导出矛盾，而整个讨论逻辑上是没有问题的。问题只能出现在集合的定义上。 
 
数学语言
 
　　设对于一类集合，A_1 = \{ a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots a_{1,i} \cdots \} , A_2 = \{ a_{2,1} , a_{2,2} , \cdots , a_{2,i} \cdots \} , \cdots ,A_i = \{ a_{i,1} , a_{i,2} , \cdots , a_{i,j } \cdots \}都满足条件a_{i,j} \not\in A_i \left( i = 1, 2,\cdots j = 1, 2, \cdots \right) 
　　但A_i \in A_i一切这类集合构成新集合A = \{ A_1 , A_2 , \cdots , A_i , \cdots \} , A_i \in A ， 
　　那么是否有A \in A？如果认为A \in A ,则A应该不是自身集合的元素，即A \not\in A，如果A \in A , A就应是本集合的元素，即A \not\in A，所以矛盾。 
 
补救
 
　　由于罗素悖论的出现所引发的第三次数学危机，公理化集合论势在必行。 德国数理逻辑学家策梅洛（Zermelo，1871年-1953年）应用自己的公理系统，使得集合在[[公理] ]的限制下不会太大，从而避免了罗素悖论。经过改进，这一系统形成了现在被称为ZF系统的公理集合论体系。这个体系至今没有发现悖论。 
 
罗素悖论、理发师悖论和异己词悖论的关系[1]
 
　　按我们通常对集合的理解，我们可以把集合分成两种，一种是属于自身的，即自己是自己的元素，另一种是不属于自身的。设S是由所有不自身的集合组成的集合，那么S是否属于它自己？若S属于S，依S的定义，S中的元素都不应该属于自己；而若S不属于S，则按照S的定义，S应该是所有不属于自己的集合构成的集合，那么S又属于S。即不论假定S属于自己还是不属于自己，都将导致矛盾。 
　　理发师悖论与罗素悖论是等价的。因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。 
　　异己词悖论：在语言中，有些形容词可以描述自身，有些形容词则不可以描述自身。例如形容词 “short”（短的）和“English”（英国的）可以修饰自身，因为short只有五个字母，English本身也是英语单词。而“long”（长的）和“French”（法国的）则不能修饰自身。又如“polysyllabic”（多音节的）这个词是多音节的，但“monosyllabic”（单音节的）这个词却不是单音节的。看来可以这么说，一个词或者可以用于自己，或者不可以。我们称那些能描述自身的词为同己的（autological），称那些不能描述自身的词为异己的（heterological）。现在让我们来考虑异己的（heterological）这个词，它是同己的还是异己的呢？如果它是同己的，则依同己的定义，它能描述自身，所以它是异己的。如果它是异己的，由于它能描写自身，所以应该是同己的。这样一来，每一个关于这个词的假设都会导致矛盾。 
　　我们按照理发师悖论和罗素悖论关系那样思考，我们把一个词与一个集合关联，这个集合是由这个词所能修饰的词构成的，那么异己的（heterological）这个词就恰恰对应了罗素悖论中“所有不自身的集合组成的集合”。这么说来，异己词悖论也等价于罗素悖论。如果用符号来表示异己词这一概念，则更加明显：X是异己的，如果X并非X。这和罗素悖论中的“X属于S，如果X不属于X”何其相似！实际上，它们的逻辑结构相同。 
　　但是，我至今没有看到哪本书上叙述过它们的这种关系，所有介绍这几个悖论的书都只是明确承认前两个悖论是等价的，而异己词悖论经常被单独讨论。甚至有些书上竟然把异己词悖论说成是一种“语义学悖论”，而把罗素悖论说成是纯逻辑悖论。这样的分法有什么根据呢？难道异己词悖论中涉及词语本身的语义，就说它是语义学的吗？按照《数学，确定性的丧失》的说法，语义学悖论“涉及到一个词的真实性和可定义性或模糊应用等概念，相应地采用这些概念的严格定义能解决上述悖论。”这提醒我们，有些词义本身是模糊不清的，比如说，长度为多少的词可以用long来修饰？没有什么标准。但是，如果把所有英语形容词的词义严格地界定起来，那么异己词悖论就真正等价于罗素悖论了。所以，悖论本身并没有因为概念的严格定义而得到解决。 
 
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