拉姆齐模型
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在如今的多数的前沿宏观经济分析的专著之中，都会出现拉姆齐的名字和拉姆齐模型这一术语。拉姆齐模型已成为现代宏观经济分析最有力的工具之一。弗兰克·拉姆齐是英国剑桥大学的数学家和逻辑学家，1928年12月，他在[经济学杂志]上发表了[储蓄的数学原理]一文，建立了拉姆齐模型。该模型在确定性的条件下，分析最优经济增长，推导满足最优路径的跨时条件，阐述了动态非货币均衡模型中的消费和资本积累原理。这个模型被后人称为拉姆齐模型。拉姆齐研究的中心问题是跨时资源的分配，在任何时刻，国民产出有多少应该分配给消费以产生当前效用，又有多少应该储蓄并投资以提高未来的产出和消费，从而产生未来的效用。模型如下：
假设用两中投入：资本K和劳动L，生产函数是Q=Q(K,L),无技术进步，人口为恒量，但提供的劳务可以变动。产出可用于储蓄或消费，储蓄导致投资和资本积累。则：
或
...(1)
消费通过一个社会效用函数U(C)来衡量。U(C)>=0，劳动的负效用D（L），D”（L）〉=0。所以净社会效用函数为U（C）-D（L），那么经济计划者的问题是最大化当前一代人和未来所有代人的社会效用：MAX --（2）
为了克服没有采用贴现因子所带来的函数可能发散问题，拉姆齐用MIN --- (2`)求解得FL=-U”(C)〆C/〆L+D’(L)=-U”(C)QL+D’(L);FL`=O;FK=-U’(C)〆C/〆K=-U’(C) QK;FK`=-U’(C)〆C/〆K=U’(C) 通过以上导数，运用变分法，得D’(L)=U’(C)QL 对所有的t>=0，--（3）解释为在任何时候劳动的边际负效用必须等于消费的边际效用和劳动的边际产出的乘积。
(C)/
=-(C)QK对所有的t>=0—（4）解释为消费的边际效用在任何时刻必须等于资本边际产出的负值的一个增长率。
我们得出最优投资和资本路径 ![\mathbf{K^\prime(t)=[B-U[C(t)]+D[L(t)]/U^\prime[C(t)]}](/wiki/w/images/math/d/7/b/d7bae4d5ac8dce6b06f289ec787910ec.png)
—(5)这个结果被称为拉姆齐规则。
（5）式这个欧拉方程描述了在任何时间路径上都必须被满足的必要条件。这是边际替代率等于边际转换率的标准有效条件的连续时间模拟。对该模型之所以是简介是因为我们省略了其中复杂的欧拉方程的变分法推导和随后的抽象的相位图分析。
拉姆齐模型在其出现后的相当一段长的时间内，由于其研究的思路与方法与主流经济学的不一致，而没有得到应有的地位。在七十年代，当宏观经济分析出现“理性预期革命”之后，拉姆齐模型似乎又被重新发现。弗兰克·拉姆齐提出的问提是一个国家应该储蓄多少，并用模型去求解，用模型去解出资源的跨时最优配置，最优消费和投资决策。中央计划人员将作这些选择，他们利用模型使具有典型性的个人效用最大化，我们可以证明这种中央计划分配等价与竞争性经济。在竞争性经济中，个人根据相关联的当前与预期的市场出清的工资和利率，作出最优的消费和投资决策。
所以，不难看出，拉姆齐是要去解决一个宏观经济问题，一个国家应该储蓄多少。在一个动态的时间序列内，应该选择怎么样的一个消费和资本积累路径。然而，这个宏观问题的求解却是从微观的角度出发，通过效用函数和生产函数的约束，在满足最优化的条件下,从微观角度求解出宏观的最优消费和资本积累路径。所以这个模型体现了宏观和微观的紧密结合，从静态到动态的演变，较好地实现了在一定的假设前提下，一国经济中的资本随时间积累的路径。该模型虽然是讨论一个宏观经济的增长问题，但却深刻的把宏观分析紧密的建立在有效的微观基础之上。因而，对后来重新发现它的经济学家们产生了虽然是迟的但却是深远的影响。正是由于该模型提供了现代宏观经济分析的思路，给后来的经济学家在理论和方法上都提供了宝贵的借鉴，摈弃了宏观和微观相互脱离的状态，在微观中分析宏观，在宏观中把握微观，从而开创了在微观基础上分析宏观问题的较早先例，在研究思路和研究方法上都对现代宏观经济分析产生了深远的影响。
1.拉姆齐模型在研究思路上对现代宏观经济分析的影响
纵观拉姆齐以前和拉姆齐之后几十年的经济思想，微观经济分析和宏观经济分析似乎各自独立的向前发展着。微观经济分析忽视了宏观方面，而宏观经济分析则超脱了微观基础。然而，整个经济研究就如一个有机生命体一样，也许我们从外观上根本就看不到有机体内部的细胞的活动,但这个有机体的一切外部表现无不受到其内部细胞的特性和活动规律的制约。物理学发展就经历了一个微观粒子世界的研究深入而改变了宏观研究的思路和方法的过程。二十世纪初，许多物理学家都认为物理学的大厦已经在牛顿的力学三大定律的基础上建立起来，今后物理学的研究也莫过于在此基础上的修修补补。然而随着对射线的发现和对原子内部结构的探索，人们对微观离子世界的认识彻底改观。微观粒子世界出现的大量新事物，使得经典物理学家们束手无策，经典物理学面临极大的危机。而在这场危机当中，诞生了狭义和广义相对论以及量子力学，彻底的改变了物理学的研究思路和方向。
当今我们的现代物质文明大部分都来源于这一次物理学的大革命。宏观经济学的研究也正如宏观物理学的研究不能脱离微观粒子世界的运动规律去讨论宇宙的发展、黑洞的演变一样，宏观经济学也不能脱离微观经济主体的特性去讨论投资，利率，资本积累等宏观经济现象和宏观经济运动。我们的研究可以在简化的前提下，抽象地去讨论宏观经济，但目前世界经济的复杂联系，市场经济的日益发达，使得我们不能脱离微观经济基础去研究宏观经济。经济首先是人的活动，而人是由一个个在外型，思想，行为上都不相同的具体的人的汇总，我们的任何一个宏观经济活动都是微观经济主体集体活动的汇总。我们可以对微观经济主体进行抽象和简化去研究宏观经济，但不能不谈微观基础而超脱的去求解宏观经济的答案。从西方经济思想史的角度来看，‘边际革命’开创了微观经济学的基础，而“凯恩斯革命”则奠定了宏观经济学的基础。然而，两者的发展却是基本上各自较为独立的在各自的领域内完善。虽然“新古典综合”在理论体系上实现了宏观经济学和微观经济学的结合，但这种结合是不完善的和不严谨的。
拉姆齐模型早在二十世纪二十年代就从宏观和微观结合角度来研究宏观经济的增长问题，不能不说这是一种卓越的思想，自从它又回到主流经济学的领域之后，深远的影响了当今的经济学研究。该模型首先研究了经过了一定抽象的微观经济主体的效用函数和生产函数，在建立了在一定假设基础上的微观基础之后，拉姆齐开始讨论微观经济主体在追求其行为的最优化的过程当中，宏观经济的路径是如何确定的。也就是说，投资、资本积累、储蓄的宏观经济的时间路径是如何受到微观经济影响的。所以，拉姆齐模型是在微观经济主体的最优选择过程中，确定了宏观经济发展的趋势。就是这种在微观基础之上，研究宏观经济问题的研究思路，使得现代的经济研究人员在研究问题时广受启发。而拉姆齐模型也成为现代宏观经济分析的经典工具之一。
2.拉姆齐模型在数学方法上对现代宏观经济分析的影响
在数学方法上，拉姆齐模型采用了当时前沿的数学分析方法--变分法，来处理连续时间路径上的经济问题。在跨时效用函数的处理上，以积分的形式完成了对跨时效用函数的描述，从而较为精辟的概括了经济主体在连续时间路径上对效用的评价。这一方法被以后的经济研究人员在处理连续时间上的效用函数的评价时所广为采用，并在此基础上加以发展。拉姆齐模型的效用函数采用了加法可分的处理方法，从而对连续时间上的动态分析产生了很强的理论效果。但该模型没有采用指数贴现的处理方法，因为拉姆齐认为当代人对未来的人的效用函数进行贴现是不道义的。但后来的经济学家还是广泛的采用了指数贴现的处理方法，因为指数贴现和加法可分一样都可以产生很强的理论效果。后来的经济学研究人员对这两种假设加以拓宽，放松加法可分的假设导致更为复杂的动态，对指数贴现的时间偏好率差异的引入，以及对取决于效用的贴现率的引入，使得抽象经济更多的符合实际经济的状况。在对连续时间路径上的效用函数的设定上，拉姆齐模型做了开创性的贡献。
拉姆齐在对消费行为和储蓄行为长期动态分析中，采用了变分法对经济行为的最优化进行分析。在变分法被拉姆齐引入经济分析的数学工具之后，后来的经济学家在分析动态最优化问题时，广泛的采用了变分法来分析动态最优化问题。在拉姆齐模型当中，微观经济主体的决策是跨时的，消费者选择消费水平和储蓄水平的行为不仅依赖于当前的经济状况，而且还会依赖于消费者过去的消费储蓄行为。而变分法在处理这一类问题时，首先将连续时间路径上的问题化为离散时间上的问题，并采用非线性规划的最优方法，得出连续时间路径上的最优条件。在这一过程当中，欧拉方程起了重要的作用。在拉姆齐采用变分法分析跨时最优行为以后，变分法在这一类问题中被广泛的运用，但目前更为广泛的被最优控制论所代替。最优控制问题和变分问题是等价的，一般的能用最优控制方法求解的问题都能用变分法来求解，但最优控制方法显得更为直观，虽然，在现代的宏观经济分析中，最优控制方法逐渐地代替了变分方法的分析，但变分法在动态经济最优问题分析中的基础地位还是没有动摇。拉姆齐在连续时间路径上对经济问题所做的数学分析具有开创性的贡献，对后来者的影响是深远的。拉姆齐为了更直观的将经济最优路径的动态过程表现出来，采用了相位图来进行图形上的分析。相位图就是用坐标图形演示动态微分方程的解及其稳定性，可以将复杂的经济动态过程直观的在坐标图形上演示出来。从而有助于人们加深对复杂经济变量之间关系的理解，更直观的讨论动态经济变量的稳定性问题。
拉姆齐综合的运用上述方法于宏观动态经济的最优分析之中，为后来者提供了宝贵的经验借鉴，并被后来者广泛的运用于宏微观经济问题的分析之中，取得了很多有价值的研究成果，如希得劳斯基对货币的研究成果，新古典主义对实际经济生产率冲击的讨论等等，以至于在许多宏观经济学的高级教科书里，拉姆齐模型总是处于前两章就要介绍的重要内容。
我国目前正处于建立和完善社会主义市场经济体制的伟大进程之中，在经济研究领域内，我们坚持以马克思主义为指导，但同时也必须充分借鉴现代西方文明的一切优秀成果，尤其是科学适应的经济学研究理论和方法。在这一方面，拉姆齐模型在一定程度上对我国的经济研究工作是有借鉴作用的。
目前，我国的经济学研究在某些方面也是在超脱了微观经济基础的简化形式上讨论宏观经济问题。在市场经济的条件下，各微观经济主体在利益和行为方式上都存在着差别，所以，如果能在一定的微观经济基础上讨论宏观经济问题，似乎更能有说服力。另外，在我国的经济学的研究工作当中，定性研究方法历来处于主流研究方法的地位，但是，在经济研究工作当中，很多问题却需要用定性的方法研究。在语言逻辑层次上讨论一个问题，能够清晰的剖析事物的本质，揭示出内在规律性，但如果能够加入一定的定量分析，则更能说清事物之间的关系和经济现象的发展演变。而且有些问题是语言逻辑难以描述清晰的，这时我们可以考虑用定量研究的方法去解决这些难题，因而，适当的数理分析在经济研究工作当中是很有必要的。
拉姆齐模型在数学建模和研究思路上对我国的经济研究工作是有启示作用的。我国的经济研究工作可以考虑在宏观和微观结合的方向上多做探讨。例如，就对我国证券市场的研究来说，这似乎是一个宏观的经济问题，但券商，散户和机构投资者在行为方式和利益目标上的差别，使得微观市场的结构必然影响到整个宏观金融市场的运作，并可能影响到宏观经济政策的效果。撇开拉姆齐错误的效用价值论不谈，无论实行社会主义的市场经济还是西方的市场经济，经济学都是研究人的理性行为，研究范围包括消费者，厂商的均衡行为，储蓄投资，资本积累等。在宏观经济当中，人们必然要考虑各种宏观经济变量在时间上的运动，如随着时间的变化，产出，消费水平，工资水平，资本存量如何变化。如果采用微分方程，差分方程的数学工具，用变分法，最优控制法等数学方法，则更能说明一些复杂的而非语言所能够解释清楚的变化过程。所以，对于我国的经济研究人员来说，掌握适当的数学工具，适当的数学分析是有益的。
当然，拉姆齐模型也有糟粕和局限性所在。拉姆齐模型的抽象简化条件即是其分析问题的优点所在，而抽象简化本身又构成了局限性所在。如在该模型当中，人都是长生不老的，因而用该模型分析政府发行债券或讨论征税时，李嘉图等价的命题便会成立。但人并非长生不老，在世代交叠模型中，李嘉图等价就很成问题。所以，该模型的许多结论只适用于该模型所规定的经济环境。另外，就该模型的价值论来说，是庸俗经济学的效用价值论，是主观唯心的和为资产阶级辩护的。除去这些缺点而论，拉姆齐模型在研究思路和数学分析上还是有许多值得我们借鉴的东西。
拉姆齐模型与索洛模型的比较
1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结论。
2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于后者特殊的参数和稳态。
3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生化了。
4．拉姆齐模型避免了在索洛模型中的无效过度资本积累。
5．拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。