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抽样平均误差

  	      	      	    	    	      	    
抽样平均误差（Sampling average error） 
 
目录
  
 
 什么是抽样平均误差 
 
　　抽样平均误差是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。由于从一个总体可能抽取多个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。 
　　抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。 
 
 抽样平均误差的计算 
 
　　（一）样本平均数的平均误差 
　　以μx表示样本平均数的平均误差， 表示总体的标准差。根据定义： 
　　\mu_x^2=E(\bar{x}-\bar{X})^2 
　　1、当抽样方式为重复抽样时，样本标志值x_1,x_2,\cdots x_n是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。所以得： 
　　\mu_x^2=\frac{\sigma^2}{n}　　　　（1） 
　　它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。 
　　例1:有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？ 
　　解：根据题意可得：\bar{X}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10(件) 
　　总体标准差\sigma=\frac{\sqrt{\sum(X-\bar{X})_2}}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{40}}{sqrt{5}}=\sqrt{8}(件) 
　　抽样平均误差\mu_x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2(件) 
　　2、当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值x_1,x_2,\cdots,x_n不是相互独立的，根据数理统计知识可知： 
　　\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}　　　　（2） 
　　当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为： 
　　\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}　　　　（3） 
　　与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以\sqrt{(N-n)/(N-1)}，而\sqrt{(N-n)/(N-1)}总是小于1，所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为： 
　　\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{8}{2}(\frac{5-2}{5-1})}=1.732(件) 
　　在计算抽样平均误差时，通常得不到总体标准差的数值，一般可以用样本标准差来代替总体标准差。 
　　（二）抽样成数的平均误差 
　　总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。即E(X)＝P，它的标准差\sigma=\sqrt{P(1-P)}。 
　　根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。 
　　1、在重复抽样下 
　　\mu_p=\sigma/\sqrt{n}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}　　　　（4） 
　　2、在不重复抽样下 
　　\mu_p=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(\frac{N-n}{N-1})}　　　　（5） 
　　当总体单位数N很大时，可近似地写成： 
　　\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}　　　　（6） 
　　当总体成数未知时，可以用样本成数来代替。 
　　例2：某企业生产的产品，按正常生产经验，合格率为90%，现从5000件产品中抽取50件进行检验，求合格率的抽样平均误差。 
　　解：根据题意，在重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为： 
　　\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}} 
　　在不重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为： 
　　\mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}(1-\frac{50}{5000})}=4.22%