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总体标准差

总体标准差（population standard deviation ）

目录

1 总体标准差的概述
2 总体标准差的计算公式
3 总体标准差及方差的估计
4 总体标准差与方差的例题分析 [1]
5 相关条目
6 参考文献

总体标准差的概述

　　总体标准差是反映研究总体内个体之间差异程度的一种统计指标，用σ表示。

　　总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方和的平均数。总体标准差则是总体方差的平方根。

　　标准差是最常用和最重要的变异性测量。标准差以分布的平均数作为参照点，用考虑每个数据和平均数之间的距离来测量变异性。它由数据是否接近或远离平均数来决定。也就是说，它考虑数据是聚集还是离散的？简单来说，标准差与数据到平均数的平均距离近似。

总体标准差的计算公式

　　方差被定义为平方差的平均数。这个平均数为总和除以N，因此，总体方差的公式为：

　　方差= $\frac{SS}{N}$

　　标准差是方差的平方根，因此，总体标准差的公式为：

　　标准差= $\sqrt{\frac{SS}{N}}$

　　与平均数（ $μ$ ）一样，方差和标准差是总体的参数，将用希腊字母表示。我们用 $σ$ 表示总体标准差。为了强调标准差和方差之间的关系，我们用 $σ 2$ 表示总体方差。所以：

　　总体标准差= $\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{SS}{N}}$

　　总体方差 $=\sigma^2=\frac{SS}{N}$

总体标准差及方差的估计

　　总体参数中除了均值和比例的估计之外，还经常要对差异的情况作出估计，例如：一架飞机的电缆如果发生断裂，飞机就会市区控制，因而严格控制其质量非常必要。但只知道电缆的平均强度是否达到标准是不够的，因为如果电缆差异太大，电缆强度太强，都容易发生断裂，后果不堪设想。所以对于电缆强度质量不仅应知道均值，而且还应知道方差，即需要要对电缆的方差进行估计。

　　对方差进行估计要用到Excel中的卡方分布反函数CHIINV。若已知总体方差 $σ 2$ （总体方差未知时用样本方差 $S 2$ 代替总体方差）和样本数，对于给定的显著性水平 $σ$ ，利用CHINV函数可以求出临界值 $X_\frac{\sigma}{2}^2$ 和 $X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)$ ,则总体方差 $σ$ d的置信度为 $1 - σ$ 的置信区间为

（ $\frac{(n-1)S^2}{X_\frac{\sigma}{2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)}$ )。

其中， ${X_\frac{\sigma}{2}^2(n-1)}$ 和 ${X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)}$

分别是自由度为 $n - 1$ 的 $X 2$ 分布的 $\frac{\sigma}{2}$ 和 $1\frac{\sigma}{2}}$ 的水平的分位数。

总体标准差与方差的例题分析 ^[1]

　　假设上市公司预计的每股收益率服从正态分布，现有8个公司组成一个简单随机样本，2007年的有关数据如表12-1所示，试建立总体标准差的95%的置信区间。

　　设随机变量X表示预计的每股收益率，则由已知条件知X～N（ $μ,σ 2$ ）,且 $σ 2$ 未知。具体操作步骤如下：

　　（1）打开“《大学计算机应用高级教程》教学资源\第3篇Excel数据分析与处理\第12章参数估计与分析\第12章参数估计与分析.xls”工作簿，选定“例12-10方程估计”工作表。

　　（2）将表12-1中的数据输入“方差估计工作表的相关单元格中，输入后的工作表如图12-20所示”

　　（3）在D2单元格中输入样本容量的值8：在D3单元格计算样本方差得值2.618971。

　　（4）在D4单元格中输入置信度95%。

　　（5）在G2单元格中输入右侧置信度0.025：在G3但与昂输入左侧置信度0.975。

　　说明：通常卡方分布函数所给出的是由右侧向左侧累加的概率。若置信度为95%，则右侧临界值的右侧面积称为右侧置信度，为0.025，左侧临界值的右侧面积为左侧置信度，它等于中心面积加上右侧置信度，即左侧置信度=0.95+0.025=03975。

　　（6）选定G4单元格，依次选择“插入”→“函数”命令，打开“插入函数”对话框。

　　（7）在“函数分类”列表中选择“统计”选项，在“函数名”列表中选择CHIINV选项，单击“确定”按钮，打开“函数参数”对话框，如图所示。

　　（8）在Probability文本框中输入右侧置信度0.025或G2，在Deg_freedom文本框中输入自由度7或“=D2-1”，单击“确定”按钮，计算结果为16.01276。

　　（9）在G4单元格重复上面的步骤，在“函数对数”对话框中的Probability文本框中输入右侧置信度0.975或E3，自由度不变，单击“确定”按钮，计算结果为1.689869。

　　（10）在D7单元格中输入公式“=（（D2-1）*D3）/G4”，得方差下限为1.145。

　　（11）在D8单元格中输入公司“=（（D2-1）*D3）/G5”，得方差上限为10.849。

　　（12）在D9和D10单元格中分别对D7和D8单元格开平方，即在D9单元格中输入公式“=SQRT(D7)”,按Enter键得1.070，在D10单元格输入公式“=SQRT(D8)”,按Enter键得3.294。结果如图所示。

　　故总体方差的95%的置信区间为（1.145，10.849），总体标准差的95%的置信区间为（1.070，3.294）。

　　由此我们有95%的把握认为这些上市公司整体每股收益率的浮动范围在1.070～3.294之间。

相关条目

参考文献

↑ 陈尹立，陈国君主编.大学计算机应用高级教程.清华大学出版社,2008.12.