战略博弈

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什么是战略博弈

　　战略博弈是指一种相互作用决策的棋型，这种模型假定每个决策主体选择且仅选择一次行动计划，并且这些选择是同时进行的。该模型包括参与人的有限集合N，对每个参与人i有一个行动集合 $A i$ 和一个建立在行动组合上的偏好关系。我们称一个行动组合a= $a j$ ( $j$ $\in$ $N$ ）为结果，并且用A表示结果集合 $X j$ $\in$ $N$ $A j$ 。这里要求将每个参与人i的偏好定义在A而不是 $A i$ 上，这是将战略博弈从决策问题中区分出来的特征所在，即每个参与人不仅要考虑自己的行动，还要考虑其他参与人采取的行动。

战略博弈的内容

　　一个战略博弈包括:

　　有限集合N(参与人集合)

　　对每个参与人i $\in$ N有一非空集 $A i$ (对参与人i有效的行动集合）。

　　对每个参与人i $\in$ N，一个建立在集合 $A$ = $X j$ $A j$ (j $\in$ N)上的偏好关系 $\ge$ i(参与人i的偏好关系)。

　　如果每个参与人i的行动集合 $A i$ 是有限的，则博弈是有限的。

　　该模型如此抽象使其能应用于较广的情形范围。一个参与人可以是单独的一个人或任何一个决策主体如政府、董事会、革命运动中的领导集体，甚至可以是一朵花或一只动物。该模型没有限制参与人有效的行动集合，例如，它可以包含几个元素或是一个具有多种状态依存的复杂计划集合。然而，由于我们要求一个参与人只对应一个偏好关系，该模型的使用范围也因此而有限。参与人偏好关系可以只是简单地反映参与人对可能结果的感受，在一个有机体不能有意识活动的情形下它可以是繁殖成功的机会。

　　该模型如此抽象的事实，有利于它应用于很广的范围，但同时也有缺陷，因为模型的内涵不依赖于情形的任何特有性质。实际上，在这个抽象程度上，对于博弈的结果得不出什么结论。要得到有趣的结论，模型应更加具体化。

　　在一些情形下，参与人的偏好非常自然地被定义在结果上而不是行动组合本身。例如，当要对寡头垄断建模时，我们可能将公司集合作为参与人集合，将价格集合作为每个公司的行动集合;但我们可能希望对这样的假设建模，即每个公司仅关心她的利润，而不关心产生利润的价格组合。为此，就要引进一个结果集合C;一个函数g：A $\to$ C，它将结果与行动组合联系起来，以及一个C上的偏好关系组合( $\ge$ $i *$ )。那么在战略博弈中每个参与人的偏好关系 $\ge$ i被定义为：a $\ge$ ib，当且仅当g(a) $\ge$ $i *$ g(b)。

　　有时我们希望对这样一种情形建模，即行动组合结果受外来的一个随机变量的影响，而参与人在行动前并不知道这种影响能否实现。对此我们也能作为战略博弈处理：引进一个结果集合C，概率空间 $Ω$ 和一个函数g： $A\times\Omega$ $\to$ $C$ 。该函数的解释是：当行动组合是a $\in$ A随机变量的实现值是 $w\in\Omega$ ，则g(a,w)便是结果。行动组合包括C上一个不确定事件(lottery）对每个参与人i，偏好关系 $\ge$ $i *$ 必须是在所有这些不确定事件集合上的具体化。在战略博弈中参与人i的偏好关系定义如下:a $\ge$ ib，当且仅当根据关系 $\ge$ $i *$ ，C上被g(a,*)起的不确定事件至少与被g(b,*)引起的不确定事件具有相同的后果。

　　在一个广泛的范围里，战略博弈中参与人i的偏好关系 $\ge$ i，可以用支付函徽 $u i$ ：A $\to$ R(亦称为效用函数)来表示，该函数的意义是，只要a $\ge$ ib,就有 $u i$ (a) $\ge$ $u i$ (b)。我们称这一函数值为支付(或效用)。我们经常通过给定一个支付函数来确定一参与人的偏好关系。就此而言我们将博弈表示成< $N (A i)$ , $(u i)$ >，而不是<N， $A i$ ,( $\ge$ i)>。

　　具有两个参与人的有限战略博弈可由图1中的表便利地表示。用行表示一个参与人的行动，另一个参与人的行动则用列表示。由行r和列c形成的方框中的两个数，为行参与人选择r和列参与人选择c时两人的支付。这样在表1的博弈中，行参与人的行动集合为|T,B|，列参与人的行动集合为|L,R|，并且从结果(T，L)来看，行参与人的支付为 $w 1$ ，列参与人的支付为 $w 2$ 。若参与人的名字为“1”和“2”，则可以方便地说行参与人为参与人1，列参与人为参与人2。表1两个参与人战略博弈的便利表示，假定每个参与人有两种行动：

	L	R
T	（w1,w2）	（x1,x2）
B	（y1,y2)	（z1,z2）

战略博弈的一般解释

　　战略博弈的一般解释是:这是一个事件只发生一次的模型。每一个参与人都知道博弈的细节及所有参与人都是“理性的”事实;并且参与人同时独立地选择他们的行动。在这种解释下每个参与人在选择他的行动时并不知道别的参与人的选择，没有信息〔除模型的基本元素外)可以让参与人用来形成对别人行动的预期。

　　另一个解释是：参与人可以通过此种博弈或在过去进行的相似博弈的信息来形成别的参与人的行为预期。只要博弈行动间不存在战略联系，则博弈行动系列都可用战略博弈来建模。也就是，一个多次从事博弈的人必须只关心他此刻的支付而忽略他现在的行动对其他参与人将来行动的影响。在这种解释下只要排除相互作用事件间的非暂时战略联系，那么将情形模化成战略博弈便是恰当的。

　　当称战略博弈参与人行动为“同时的”时候，我们并不强调这些行动是在时间的同一点上完成。如下的一种情形也能用战略博弈来建模:参与人在终点前处子不同位置，开始参与人的可能行动和支付是公开说明了的(这样它们便是参与人间的共同知识)，然后每个参与人通过向中央电脑输入一条信息来选择一个行动，当所有信息被收到后参与人便知道他们的支付了。不过，战略博弈模型应用范围比这个例子所提供的还要广泛得多。应用战略博弈建模的重要之处在于，参与人独立作决策且所有参与人在做决策前并不知道其他参与人的选择。

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