概率空间

什么是概率空间

　　概率空间是指(Ω, F, P)是一个总测度为1的测度空间（即P(Ω)=1）.

　　第一项Ω是一个非空集合，有时称作“样本空间”。Ω 的集合元素称作“样本输出”，可写作ω。

　　第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素称为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必须是一个σ-代数： $\Omega{\in}\mathcal{F}$ ；

　　若 $A{\in}\mathcal{F}$ ，则 $\bar{A}{\in}\mathcal{F}$ ；

　　若 $A_n{\in}\mathcal{F}$ ， $n = 1,2,...$ ，则 $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n{\in}\mathcal{F}$

　　(Ω, F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合，在此集合上可定义其概率。

　　第三项P称为概率，或者概率测度。这是一个从集合F到实数域R的函数， $P:\;F{\mapsto}R$ 。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。

　　概率测度经常以黑体表示，例如 $\mathbb P$ 或 $\mathbb Q$ ，也可用符号“Pr”来表示。

　　例如：

　　若样本空间是关于一个机会均等的抛硬币动作，则样本输出为“正面”或“反面”。事件为：

　　{正面}，其概率为0.5；{反面}，其概率为0.5；{非正非反}，其概率为0；{正面，反面}，不是正面就是反面，这是Ω，其概率为1。

　　随机变量是一个从Ω映像到另一个集合(通常是实数域R)的函数。它必须是一个可测函数。比如说，若X是一个实随机变量，则使X为正的样本输出的集合{ω∈Ω:X(ω)>0}是一个事件。

　　为简便起见，{ω∈Ω:X(ω)>0}经常只写作{X>0}。P({X>0})更被简化为P(X>0)。

　　独立

　　若P(A∩B)=P(A)P(B)，则A和B两个事件是独立的。

　　若任何与随机变量X有关的事件和任何与随机变量Y有关的事件独立，则X和Y两个随机变量是独立的。

　　独立这个概念是概率论和测度论分道扬镳的地方。

　　互斥

　　若P(A∩B)=0，则称A和B两个事件互斥或不相交（这个性质要比A∩B=∅弱一些，后者是集合不相交的定义）。

　　若两个事件A和B不相交，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。这个性质可以扩展到由（有限个或者可数无限个）事件组成的事件序列。但不可数无限个事件组成的事件集合对应的概率与集合元素对应概率之和未必相等，例如若Z是正态分布的随机变量，则对任意x有P(Z=x)=0，但是P(Z是实数)=1。

　　事件A∩B的意思是A并且B；事件A∪B的意思是A或者B.