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开映射定理

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 什么是开映射定理 
 
　　在泛函分析中，开映射定理是指如果巴拿赫空间之间的连续函数是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地: 
　　 如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)在Y内是开放的）。 
　　该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。 
 
开映射定理的重要推论
 
　　开映射定理有一些重要的推论： 
　　 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么反函数A-1 : Y → X也是连续的。 
　　 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y  = 0，那么A就是连续的（闭图像定理）。 
 
开映射定理的证明
 
　　我们需要证明，如果A : X → Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。 
　　设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数kU的序列的并集，k ∈ N，且由于A是满射， Y=A(X)=A(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} kU) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A(kU). 
　　根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在k > 0，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，半径r > 0，包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V，那么c + rv和c位于B(c, r)内，因此是A(kU)的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是A(kU) -A(kU) \subset A(2kU)的极限点。根据A的线性，这意味着任何v\in V都位于A(δ1 U)的闭包内，其中δ = r / (2k)。于是可以推出，对于任何y\in Y和任何ε > 0，都存在某个x\in X，满足： 
　　\ ||x||< \delta^{-1} ||y|| \quad 且 \quad ||y - Ax||< \varepsilon. \quad (1) 
　　固定y\in V。根据(1)，存在某个x_1，满足 |  | x1 |  | 且||y − A x1||<δ / 2。定义序列{xn}如下。假设： 　　\ ||x_{n}||< 2^{-(n-1)} \quad 且 \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)|| < \delta \, 2^{-n} \, ; \quad (2) 
　　根据(1)，我们可以选择xn + 1，使得： 
　　\ ||x_{n+1}||< 2^{-n} \quad 且 \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})|| <  \delta \, 2^{-(n+1)}, 
　　因此xn + 1满足(2)。设 
　　\ s_n=x_1+x_2+ \cdots + x_n. 
　　从(2)的第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个x\in X。根据(2)，序列Asn}}趋于y，因此根据A的连续性，有Ax=y。而且： 
　　||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n|| < 2.  
　　这表明每一个y\in\delta V都属于A(2U)，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ / 2)V。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。 
 
开映射定理的推广
 
　　X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合： 
　　 设X为F空间，Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫集，要么A(X) = Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。 
　　更进一步，在这个情况中，如果N是A的核，那么A有一个标准分解，形如下式： 
　　X\to (X/N)^\alpha \to Y 
　　其中X / N是X对闭集N的商空间（也是F空间）。商映射X → X / N是开放的，且映射α是拓扑向量空间的同构。