贝尔纲定理

贝尔纲定理（Belve's theorem）

什么是贝尔纲定理

　　贝尔纲定理是指点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是贝尔空间的充分条件。

　　该定理由勒内-路易•贝尔在他1899年的博士论文中证明。

　　一个贝尔空间是一个拓扑空间，具有以下性质：对于任意可数个开集 $U n$ ，它们的交集∩ $U n$ 都是稠密的。

　　（BCT1）每一个完备度量空间都是贝尔空间。更一般地，每一个同胚于某个完备空间的开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。

　　（BCT2）每一个局部紧豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；有限交集性质取得了完备性扮演的角色。

　　注意从以上任何一个命题都不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的完备度量空间（带有定义如下的度量的无理数），也存在一个不可度量化空间（不可数福特空间）。

　　（BCT3）一个非空的完备度量空间不是可数个无处稠密集（也就是闭包具有稠密补集的集合）的并集。

　　这个表述是BCT1的一个结果，有时更加有用。另外，如果一个非空的完备度量空间是可数个闭集的并集，那么其中一个闭集具有非空的内部。

　　以下是完备度量空间 $X$ 是贝尔空间的一个标准的证明。

　　设 $U n$ 为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集 $\bigcap U_n$ 是稠密的。为此，设 $W \subset X$ 为一个开子集。根据稠密性，存在 $x 1$ 和 $r 1 > 0$ ，使得：

　　 $\overline{B}(x_1, r_1) \subset W \cap U_1$ 。

　　递归地，我们求出 $x n$ 和 $r n > 0$ ，使得：

　　 $\overline{B}(x_n, r_n) \subset B(x_{n-1}, r_{n-1}) \cap U_n$ 而且 $r n < n - 1$ 。

　　由于当 $n > m$ 时， $x_n \in B(x_m, r_m)$ ，因此 $x n$ 是柯西序列，且 $x n$ 收敛于某个极限 $x$ 。对于任何 $n$ ，根据封闭性，有：

　　 $x \in \overline{B}(x_{n+1}, r_{n+1}) \subset B(x_n, r_n)$ 。

　　因此，对于所有 $n$ ，都有 $x \in W$ 且 $x \in U_n$ 。 $\square$

　　BCT1可以用来证明开映像定理、闭图像定理和一致有界原理。

　　BCT1也表明每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。（如果X是一个可数的完备度量空间且没有孤立点，那么在X中每一个单元素集合都是无处稠密的，因此X在它本身内是第一纲）。特别地，这证明了所有实数所组成的集合是不可数的。

　　BCT1表明以下每一个都是贝尔空间：

　　·实数空间R；

　　·无理数，其度量定义为d(x, y) = 1 / (n + 1)，其中n是使x和y的连分数展开式不同的第一个指标（这是一个完备度量空间）；

　　·康托尔集。

　　根据BCT2，每一个流形都是贝尔空间，因为它是局部紧空间，也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧（因此不可度量化）的流形如长直线也是成立的。