单周期库存模型

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单周期库存模型

单周期库存模型概述

　　对于单周期需求来说，库存控制的关键在于确定订货批量。订货量就等于预测的需求量。

　　由于预测误差的存在，根据预测确定的订货量和实际需求量不可能一致。如果需求量大于订货量，就会失去潜在的销售机会，导致机会损失——即订货的机会(欠储)成本。另一方面，假如需求量小于订货量，所有未销售出去的物品将可能以低于成本的价格出售，甚至可能报废还要另外支付一笔处理费。这种由于供过于求导致的费用称为陈旧(超储)成本。显然，最理想的情况是订货量恰恰等于需求量c

　　为了确定最佳订货量，需要考虑各种由定货引起的费用。由于只发出一次订货和只发生一次订购费用，所以订货费用为一种沉没成本，它与决策无关。库存费用也可视为一种沉没成本，因为单周期物品的现实需求无法准确预计，而且只通过一次订货满足。所以即使有库存，其费用的变化也不会很大。因此，只有机会成本和陈旧成本对最佳订货员的确定起决定性的作用。确定最佳订货量可采用期望损失最小法、期望利润最大法或边际分析法。

期望损失最小法

　　1.期望损失最小法定义

　　期望损失最小法就是比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。已知库存物品的单位成本为C，单位售价为P，若在预定的时间内卖不出去，则单价只能降为S(S<C)卖出，单位超储损失为 $C o = C - S$ ；若需求超过存货，则单位缺货损失(机会损失) $C u = P - C$ 。设订货量为Q时的期望损失为 $E l (Q)$ ，则取使EL(Q)最小的Q作为最佳订货量。 $E l (Q)$ 可通过下式计算：

　　 $\boldsymbol{E_l(Q)=\sum_{d>Q}C_u(d-Q)P(d)+\sum_{d<Q}C_0(Q-d)P(d)}$

　　其中:

单位超储损失 $\boldsymbol{C_0=C-S}$
单位缺货损失 $\boldsymbol{C_u=P-C}$
P:单价;Q:订货量;d:需求量;C;单位成本;P(d):需求量为d时的概率;s:预订时间卖不出去的售价;

　　2.期望损失最小法示例

　　按过去的记录，新年期间对某商店挂历的需求分布率如表1所示:

　　已知：每份挂历的进价为C＝50元，售价P＝80元。若在1个月内卖不出去，则每份挂历只能按S＝30元卖出。求：该商店应该进多少挂历为好。

　　解:设该商店买进Q份挂历当实际需求d<Q 时，将有一部分挂历卖不出去，每份超储损失为Co=C-S=50-30=20（元）；

当实际需求d > Q 时，将有机会损失，每份欠储损失为Cu=P-C=80-50=30（元）。
当Q=30时，则E_l(Q)=[30×(40-30)×0.20+30×(50-30)×0.15]+[20×(30-0)×0.05+20×(30-10)×0.15+20×(30-20)×0.20]=280（元）。
当Q取其它值时，可按同样方法算出EL(Q)，结果如表2所示,由表2可以得出最佳订货量为30份。

期望利润最大法

　　比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量设订货量为Q时的期望利润为 $E p (Q)$ 。

　　 $\boldsymbol{E_p(Q)=\sum_{d<Q}[C_ud-C_0(Q-d)]P(d)+\sum_{d>Q}C_uQP(d)}$

　　当Q=30时，则EL(Q)=[30×0-20(30-0)]×0.05+[30×10-20(30-10)]×0.15+[30×20-20(30-20)]×0.20+30×30×0.25+30×30×0.20+30×30×0.15=575（元）。如下表3所示:

边际分析法

　　假定原计划订货量为D，考虑追加一个单位订货的情况。追加1个单位的订货，使得期望损失变化，如果Q为最佳订货量，则无论增加或减少都应使损失加大。

　　 $\boldsymbol{\Delta E_l(Q)=E_l(Q+1)-E_l(Q)}$

　　　　　　 $\boldsymbol{=[\sum_{d>Q}C_u(d-Q-1)P(d)+\sum_{d<Q}C_0(Q+1-d)P(d)]-[\sum_{d>Q}C_u(d-Q)P(d)+\sum_{d<Q}C_0(Q-d)P(d)]}$

　　　　　　 $\boldsymbol{=(C_u+C_0)\sum_{d=0}^Q P(d)-C_u=0}$

　　则临界缺货概率:

　　 $\boldsymbol{P(D^*)=\frac{C_0}{C_0+C_u}}$

　　含义:当实际需求大于订货量D的概率P(D)等于 $P (D *)$ 时，D就是最佳的订货量。若不存在一个D，使得 $P (D) = P (D *)$ 成立，则满足条件 $P (D) > P (D *)$ 且 $P (D) - P (D *)$ 最小的D就是 $D *$ 。确定了 $D *$ ，然后再根据经验分布就可以找出最佳订货量。

　　某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2，树的售价为$6。未售出的树只能按$1出售。节日期间圣诞树需求量的概率分布如表4所示（批发商的订货量必须是10的倍数）。试求该批发商的最佳订货量。

　　 $\boldsymbol{P(D^*)=\frac{C_0}{C_0+C_u}=\frac{2-1}{(2-1)+(6-2)}=0.20}$

　　查表可知，实际需求大于50棵的概率为0．25，再结合求D* 的条件可以求出最佳订货量为50棵。　　