一．知识点归纳总结
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2 .
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法：
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 .
４.勾股定理的应用
① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边长时；
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则有
② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；
③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 .
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 .
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，
它通过 数转化为形 来确定三角形的可能形状，
在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 + b2 与较长边的平方 c2 作比较 :
若它们相等时，以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；
若 a2 + b2 < c2，时，以 a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；
若 a2 + b2 > c2，时，以 a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形 .
②定理中 a，b，c 及 a2 + b2 = c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，
如若三角形三边长 a，b，c 满足 a2 + c2 = b2，那么以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，
但此时的斜边是 b 而不是 c 了 .
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，
不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 .
６.勾股数
① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，
即 a2 + b2 = c2 中，a，b，c 为正整数时，称 a，b，c 为一组勾股数 ;
② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如 3 , 4 , 5；6 , 8 , 10；5 , 12 , 13 等 ;
③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：
7.勾股定理及其逆定理的应用
二、常见题型归纳总结
题型一：直接考查勾股定理
【例题1】在 △ABC 中，∠C = 90°．
⑴ 已知 AC = 6，BC = 8．求 AB 的长 ;
⑵ 已知 AB = 17，AC = 15，求 BC 的长 .
分析：画出图形直接应用勾股定理即可解题 .
题型二：应用勾股定理建立方程
【例题2】
⑴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，CD⊥AB 于 D，则 CD＝；
⑵ 已知直角三角形的两直角边长之比为 3 ：4，斜边长为 15 cm，则这个三角形的面积为；
⑶ 已知直角三角形的周长为 30 cm，斜边长为 13 cm，则这个三角形的面积为.
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
有时可根据勾股定理列方程求解 .
【例题3】如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠1 = ∠2，CD = 1.5 , BD = 2.5 , 求 AC 的长 .
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 .
解析：设 AC = x , 易知 CD = DE = 1.5 , AC = AE = x ,
在 Rt△DEB 中，根据勾股定理可得：DE2 + BE2 = BD2 ,
即 1.5 × 1.5 + BE2 = 2.5 × 2.5 ，
解得 BE = 2 .
在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：AC2 + BC2 = AB2 ,
即 x2 + 4 × 4 = （x + 2）2 ,
解得 x = 3 ,
∴ AC = 3 .
题型三：勾股定理在实际问题中的应用
【例题4】如图有两棵树，一棵高 8 m，另一棵高 2 m，两树相距 8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m.
分析：根据题意建立数学模型，如图所示 AB = 8 m，CD = 2 m，BC = 8 m，
过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，则 AE = 6 m，DE = 8 m .
在 Rt△AED 中，应用勾股定理，可得 AD = 10 m ，即小鸟至少飞了 10 m .
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
【例题5】已知三角形的三边长分别为 a，b，c，试判定 △ABC 是否为直角三角形 .
① a = 1.5，b = 2，c = 2.5 ;
② a = 5/4，b = 1，c = 2/3 .
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
【例题6】已知在 △ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 边上的中线 AD = 12 cm，
求证：AB = AC .
证明：
∵ AD 是 BC 边上的中线，BC = 10 cm ,
∴ BD = DC = 5 cm ,
在 △ADB 中，AB = 13 cm , AD = 12 cm , BD = 5 cm ,
∵ 5 × 5 + 12 × 12 = 13 × 13 ，
∴ BD2 + AD2 = AB2 ,
∴ △ADB 是直角三角形，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90° ，
∴ △ADB ≌ △ADC，（SAS）
∴ AB = AC .
三、巩固训练
1、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
2、如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC = 10 千米，BD = 30 千米，
且 CD = 30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，
请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
