现代物理学告诉我们，宇宙可能是有穷的，时空也可能是离散而非连续的，但在现代数学中我们似乎有着非常确定的、关于某些无穷和连续的数学对象和结构的真理。这些独立于物质世界的数学对象和结构果真存在吗？数学定理果真是关于它们的客观真理？我们的物质性的、有限的大脑又如何真的可能认识那些独立于物质世界的、而且是无穷的事物？也许不应该以这种方式理解数学真理？这是令当代西方一些哲学家困惑的一个问题。本文的目的是向哲学专业以外的读者介绍近代与当代一些哲学家对这个问题的思考，并作一些评述。
撰文 | 叶峰（首都师范大学哲学系教授）
如果问题是数学的内容是什么，那么回答自然是，数学包括分析、代数、几何等等。但我们这里关心的是，这些分析、代数、几何中的定理是什么性质的真理，它们与我们所认识到的其它真理，比如自然科学中的真理，有什么共同点与差异？尤其是，数学真理的基础是什么？或者说，数学定理之为真，是依赖于什么？
比如，自然科学中的一个论断的真假，是依赖于该论断是否与现实的物质世界的实情相符合。大爆炸宇宙模型是真的，指的是这个现实的宇宙确实是像这个模型所描述的,或者说，这个模型符合这个现实的宇宙；同样，牛顿运动定律是近似地真的，指的是它们近似准确地描述了现实世界中的物质运动的实情。这些都是常识，没有什么特别深奥的。那么，说一个数学命题是真的，也是指该命题真实地描述了某个数学世界中真实存在着的数学对象与结构吗？比如，说一个关于自然数的命题是真的，也是指该命题真实地描述了真实存在着的自然数吗？听起来这好象是显然的，但是仔细分析一下我们会看出，它实际上蕴含了一个谜。
首先，它蕴含了存在着一个独立于物质世界的抽象的数学世界。因为现代物理学告诉我们，我们生存于其中的这个物质世界可能是有穷的：在宏观上，大爆炸宇宙模型提供了一个宏观上有穷的宇宙模型；在微观上，有关量子引力的一些现象，显示着在微观的普朗克尺度上，时空的自由度可能是有限的，这意味着，时空在微观上可能是离散的而不是连续的。而另一方面，数学中的许多对象和结构是很确定地被描述成无穷的对象和结构。最简单的自然数也有无穷多个。虽然宇宙是有穷还是无穷在现代物理学中没有定论，但我们可以假设，即使现实的物质世界果真是有穷的，数学定理的真理性应该还是不变的。至少，对任一自然数，都有一个比它大的另外一个自然数这样一个命题应该还是真的。这已经意味着，数学中的无穷的对象和结构，应该是与现实的物质世界无关的对象和结构。即使现实的物质世界果真是有穷的，我们还是有同样的无穷多个自然数、同样的数学真理。我们甚至将数学应用于明显是有穷的领域，比如经济学中。可见，即是整个宇宙是有穷的，那也不过就像在经济学领域一样，我们还是可以应用同样的数学。在那里，虽然无穷的数学模型只是近似地描述了现实世界中的现象，但是数学定理对于那些无穷数学模型来说，应该是严格准确地真的。所以，那些无穷数学模型中的数学对象和结构，只能是存在于一个独立于现实的物质世界的数学世界中。换句话说，数学世界只能是一个独立于现实的物质世界的独立王国。
是否果真存在着这样一个独立的数学王国，当然会引起我们的怀疑。更重要的是，我们人类应该是这个现实的物质世界中的一个部分。我们的大脑，应该是这个现实的物质世界长期进化的产物。我们的知识应该来源于我们的大脑通过我们的感觉器官与物质世界的相互作用。所以，一个哲学上的谜就是：这样一个有限的大脑与有限的物质世界的相互作用，如何能够产生对那个独立王国中的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识？这是否意味着我们有着独立于物质性的大脑的某种心灵，而且我们的心灵有着某种神秘的直觉，可以认识超出有限的物质世界之外的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构？这是否意味着神秘主义？换句话说，它是这样一个谜：一方面，直观上我们似乎确实有着关于无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识；另一方面，如果它们真的是独立于现实的物质世界的对象和结构，我们究竟是如何得到关于它们的知识的？究竟是依据什么来断定一个数学定理或公理是真的？我们不能观察到那些无穷的对象和结构，不能像对牛顿力学那样，用观察来验证它是近似地真的，用观察来验证它不如相对论更准确等等。所以，一个数学命题之为真的依据究竟是什么？
也许，并没有这样一个独立于现实的物质世界的数学上的独立王国。那么，数学真理又是什么？数学定理还是客观真理吗？一种自然的想法是，数学公理只是假设。它们本身不是客观真理。数学家们只是从那些假设推导出定理。但是，数学家们显然不是在随意地作假设。科学家们作一些科学假说，是因为他们揣测那些假说可能是真的，然后他们用实验去验证或反驳那些假设。同样地，数学家们接受了一些公理，从那些公理推导出定理，是因为他们确实直觉到那些公理的自明性。他们不会任意地选择一些命题作为公理，然后就去推导定理。比如，假设用现有的公理可以证明哥德巴赫猜想，而用另外一些公理可以推导出哥德巴赫猜想的否定。假如公理仅仅是一些任意的假设，那么是不是说哥德巴赫猜想本身也无所谓真假了？将数学公理仅仅看成假设，可能是因为混淆了两类不同意义上的公理。一种是像一些数学结构的定义公理，比如群的定义公理。这些公理确实只是假设。群的定义只刻画了群这一类结构，它们本身不蕴涵群存在。要证明群存在，需要一些更基本的更实质性的公理，也就是集合论中的公理，它们断言空集存在，两个集合的并集存在等等。特别地，要证明无穷群存在，需要集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集。无穷公理似乎不仅仅是假设。它直接地断定无穷集存在。如果它是假的，如果无穷集不存在，那么很大一部分数学似乎就无意义了。而且，从另一方面看，既然像无穷公理、选择公理这样的假设，使得所推导出的数学定理在科学中有着广泛的应用，我们能否说科学就证明了这些假设不仅仅是随意的假设，而是蕴含着真正的真理？
这些问题，是关于数学真理是什么的主要问题。概括起来是：数学真理是什么性质的真理？一个数学命题之为真是依赖于什么？我们是依据什么来认识数学真理和判断一个数学命题（包括公理）为真的？我们将称之为数学的真理性问题，或关于数学真理性的困惑[1]。
本文的目的不是回答这些问题。本文的目的是简要地介绍历史上哲学家们对数学真理的本质的思考，考察它们是否提供了对这个问题的答案。同时我们还想从中寻找一些发展脉络，尤其是考察，种种困难如何迫使哲学家们对数学真理的定位摇摆于逻辑真理与经验科学的真理之间。这里，我们是从现代数学的角度提出这些疑问的。现代数学产生之前的对数学真理的本质的哲学思考，不可避免地有着它们的时代局限性，但是它们在今天还是会有一些启发性的意义。所以本文将从考察恩格斯对数学的定义和康德对数学真理的定位开始。但我们将主要考察最近一百年来西方哲学家对这些问题的思考，并对之作出一些评价。另外，本文的目的不是要完整地描述数学哲学的历史，所以我们将只考察那些与数学真理的本质与定位有关的哲学思想。
我们将侧重于这些哲学问题，但是本文将不假设读者具备任何哲学史或现代数理逻辑的知识。关于数学真理的本质的问题，应该是任何具备了一些现代数学和自然科学常识的人都可以认真思考的问题。本文的目的之一，是希望能引起非哲学专业的读者们对这一问题的兴趣。因此，我们将不繁琐地引证我们对一些哲学家的思想的阐释的正确性，而将侧重于用非专业性的语言，勾画出历史上哲学家们对这些问题的思考的脉络。另一方面，对数学真理的本质的思考，确实又是西方哲学的主要动力之一。从毕达哥拉斯和柏拉图，到康德，又到二十世纪以来的西方分析哲学，哲学家们都想为数学真理在我们的知识大厦中找到一个合适的位置。而这种努力所遭遇到的困难，使得一些哲学家们提出了一些深刻的见解，也迫使一些哲学家提出了一些从常识看来似乎是荒谬的世界观。理解这一点，也有助于理解西方哲学。
2 数学与自然科学
最常听到的对数学的定义也许是恩格斯的定义：数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。许多人已经正确地指出，现代数学的内容已经远远超出现实世界的数量关系与空间形式所能概括的范围。现代代数学中所研究的代数结构，和现代分析中所研究的函数空间等等，很难用数量关系来概括；现代几何学所研究的，也远远超出了现实世界的空间形式。尤其是，现代数学中研究的许多对象是无穷的对象，包括无穷的代数结构，无穷的几何空间等等，而现代物理学告诉我们，我们生存的这个物理世界有可能是有穷的。所以数学中研究的许多对象，已经远远超出了现实世界。基于这一点，特别是由于布尔巴基学派的影响，有人提出，恩格斯的定义可以修改为：数学是关于抽象模式或抽象结构的科学。
但是，这种简单草率的推广忽略了一个非常严重的问题。在恩格斯原来的定义中，现实世界这个限制与科学这个概括其实是密切相关的。自然科学探索关于现实世界的真理。自然科学中的论断的真理性依赖于现实世界的实际构成，是对现实世界的反映。大爆炸宇宙模型如果是真的，那是由于现实的宇宙恰好是如此。牛顿引力理论是近似地正确的，那也是由于现实的物质世界恰好是如此。自然科学可能会发现一些一般性的定律，独立于我们在这个现实世界中观察到的偶然的初始条件，但是它们也是关于现实世界的一般性定律。我们也许可以想象另外一种物质世界，在其中，物理定律与这个真实的世界中的物理定律完全不同。但这不是自然科学所关心的。自然科学关心的是这个真实的世界。对自然科学真理的验证，依赖于我们对现实世界的观察，来源于我们的经验。如果数学研究的也是现实世界中的数量关系与空间形式，那么数学与自然科学在本质上是相同的，因此数学可以被归类在科学之下。比如，也许与物理学相比，数学只是考虑现实世界中物体的一些更简单、更一般的属性。比如只考虑物体的个数、形状等数量与几何属性，而不考虑它们的质量、颜色等物理属性。也许m+n=n+m与物理定律一样，是对现实世界中物体的个数的真实描述，只不过它比物理定律更简单，已经经过了无数次的经验验证。同样地，也许平面几何中的定理，是对现实世界中物体的形状的真实描述，虽然在几何学中我们可以通过证明来得到许多这些真理，而不必去直接地测量，因为只要那些公理是对现实世界中物体的形状的真实描述，由公理严格推导出的定理也一定是对现实世界中物体的形状的真实描述。所以恩格斯的定义虽然不能概括现代数学，但至少在逻辑上是自洽的，在概念上是清晰的，而且用于初等数学时，有明显的合理性。
但是，如前所述，现代数学研究的是所谓抽象结构，包括与现实物质世界毫不相干的结构，比如与现实的宇宙毫不相干的一些几何空间，因此现代数学应该在本质上不同于自然科学。将研究抽象结构的数学称为科学，掩盖了一些根本性的问题：比如，所谓的抽象结构，尤其是超出这个现实世界的结构，究竟是什么？它们果真存在吗？数学真理的基础又是什么？比如集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集，假如现实的物理世界在微观和宏观上都是有限的，那么无穷公理的真理性的基础又是什么？还有，现代数学中广泛地用到选择公理，它的真理性的基础又是什么？显然它们不能像自然科学中的真理一样，是基于它们与现实的物质世界相符合，因为现实的物质世界中可能根本不存在无穷。如果它们的真理性依赖于它们与所谓的抽象结构相符合，那么就有了上一节所提到的那些谜：既然我们不能用眼睛，甚至不能用望远镜去观察它们是否符合，我们究竟是如何认识那些公理的真理性的？
这些都显示着现代数学与自然科学的差异，以及将现代数学描述为关于抽象模式或抽象结构的科学所带来的问题。所以，对现代数学而言，关于数学真理的基础究竟是什么这一问题，恩格斯的定义没有提示明确的答案。
其实，即使限于初等数学，而且限于将初等数学定理看作是关于现实世界中的数量关系与空间几何形式的真理，将数学视为同物理学一样的经验科学，也有着一些难点。所以，与之相对应的，有哲学家康德对数学的定位：数学真理是所谓先天综合判断。下面我们将简要地解释一下这意味着什么。
首先，我们可以想象一个有着不同的物理规律的世界，但我们似乎无法想象一个2+3不等于5的世界。所以2+3=5似乎有着与物理规律不同的普遍性与必然性。儿童们可能是通过数石子、积木等物体来学习2+3=5，但这与科学家们通过观测来发现或验证物体间万有引力的平方反比定律，似乎有着实质性的区别。我们有着关于引力的概念，有着关于距离的概念，但这些概念本身并不必然地蕴涵着物体间的引力与距离的平方成反比。这个定律的真实性依赖于这个世界的偶然的构成；同时，要认识和验证这个定律，我们必须实际地去观测这个世界中的物体。可是，一旦我们掌握了数与加法的概念，我们并不再用数石子去验证关于加法的真理，比如1234+5678=6912，或者m+n=n+m。假如有人真的找了那么两堆石子来数，然后声称得出的结果是1234+5678不等于6912，我们不会认为他找到了一个反例。这与科学家通过观测光线通过太阳附近的弯曲来寻找牛顿力学的反例不同。我们也不能通过数石子来验证像m+n=n+m这样一般性的结论。对于非常大的两个数的和，有限的宇宙间也许根本没有那么多物体来数。我们认为1234+5678=6912与m+n=n+m的正确性是依赖于数与加法的概念，而不是依赖于这个物质世界的偶然构成。在现实世界中，2升的酒精加到3升的水中，由于溶解作用，可能我们并不得到5升的溶液，但我们认为这与2+3=5的真理性不相干。在这些意义上，像2+3=5与m+n=n+m这样的数学真理，是所谓先天真理：它们是必然的，它们的普遍性超出我们任何可能的经验；虽然我们可能是通过经验才意识到它们的真理性，但它们的真理性不依赖于我们的经验。
另一方面，有一种类型的判断，其为真确实不依赖于我们具体的经验，而是仅仅依赖于其中的逻辑连接词的含义或概念的定义。这些是所谓分析真理。通常所说的逻辑真理是分析真理中简单的一种。逻辑真理指的是那些仅仅依逻辑连接词的含义就为真的判断，比如今天下雨或者今天不下雨，如果今天下雨而且今天打雷，那么今天下雨。他们之为真，仅仅依赖于其中的逻辑连接词的意义，也就是或者，而且，不，如果，那么这些词的意义，甚至与下雨等这些概念无关，更不用说与今天是否真的下雨无关。另外一种类型的分析真理，是依概念的定义为真的真理，比如，植物是生物。这个判断为真，仅仅依赖于植物与生物这两个概念的定义，其中植物的定义，就包含着植物是某种生物，而不论宇宙中是否真有植物或生物。要认识这个真理，我们也不需要去观测宇宙中是否真有植物或生物，或者宇宙中的植物或生物是怎样的。对于一个像植物是生物这样的分析真理，如果将其中相关的概念的定义明确地表达出来作为一些前提，那么这个分析真理就是这些前提的逻辑推论。例如，植物的定义也许是植物是……的生物，以此为前提，就可以逻辑地推导出植物是生物。换句话说，一个命题P是分析真理，当且仅当如果P*，那么P 是纯粹逻辑上的真理，其中P*是表达P中的相关概念的定义的命题。如果P本身就是像上面所说的A 或者并非A那样的逻辑真理，那么它是这个分析真理的定义的一个特例，因为在这种情形下，如果P*，那么P自然也是逻辑真理。分析真理的真理性基础应该是清楚的。它们之为真，是依赖于相关的概念的涵义。它们近于所谓的同语反复，是空洞地真的。给定了相关的概念的涵义后，一个分析真理，不含任何超出概念的涵义之外的事实内容，不对现实世界中的事实作任何肯定或否定。就像今天下雨或者今天不下雨，对现实世界中的事实作没有作任何肯定或否定。
但是康德认为，2+3=5不是分析真理，因为2、3和+的概念中似乎不包含5这个概念。2、3、5和+这些概念必然地蕴含着2+3=5为真，但是康德认为这不能仅仅由分析这些概念得出。同时，这样的真理似乎不是同语反复，不像植物是生物或者今天下雨或者今天不下雨那样，对现实世界中的事实作不作任何肯定或否定。它们似乎有着一些真实的内容。
与分析真理相对立的就是所谓综合真理。所以康德的结论是，数学真理是先天综合真理。一方面，它们有着与普通的经验真理不同的必然性，它们之为真，不依赖于我们有意识地观测到的关于这个世界的一些偶然事实，而且，对它们的认识和验证，也不依赖于对现实世界的观测；另一方面，它们之为真，也不仅仅依赖于我们的概念的定义，它们不是简单的同语反复。从这后一结论我们可能会得出，既然它们不仅仅依赖于我们的概念的定义，它们就一定依赖于关于这个世界的一些实际的事实。比如，既然它们不像今天下雨或者今天不下雨那样是一个空洞的真理，那么它们就应该像今天不下雨那样，是一个有事实内容的真理，因此这似乎就与前一结论，即与它们的必然性与先天性相矛盾。同样地，从它们的必然性与先天性我们可能会得出，既然对它们的认识和验证不依赖于对现实世界的观测，它们应该就没有对现实世界中的事实作作任何肯定或否定，因此应该就是像今天下雨或者今天不下雨那样，是一个空洞的分析真理。这个困惑，就是康德的哲学所要回答的。他要回答，先天综合真理是如何可能的，我们关于先天综合真理的知识又是如何可能的。由此也就回答了，数学真理是什么以及我们是如何得到数学真理的。
康德的回答，用通俗的语言极其简单地概括起来是：我们用于认识世界的认知官能本身有一些结构和功能（又叫先天认知形式）；我们的认知官能，用这样一些先天的结构和功能，来组织我们的感官所接受到的、从外部世界来的感觉材料；而先天综合真理，就是由我们的认知官能的这些先天的结构和功能决定了的真理。换句话说，我们认识世界的器官，不是简单地反映外部世界。它对我们的感官所接受到的原始的感觉材料，如视觉形象、声音等等，作了一些组织和处理，使得感官所接受到的感觉材料不是无秩序的、无结构的。比如，将相关的感觉材料组合成关于一个物体的印象，将它们排列成时间空间上的顺序和关系，排列成因果关系上的关联顺序等等。这样组织的结果，自然使得我们得到的对外部世界的印象，符合某些规律。这些规律，实际上是我们的认知官能加在外部世界上的。因此，有些真理，比如几何学中关于空间关系的一些最基本的真理，是我们认识世界的器官的这种运作的结果，是由我们认识世界的器官的这种功能本身决定的。换句话说，也许并非外部世界是真正地如此，而是我们认识世界的器官的一些内在的结构，决定了我们只能以某种方式来认识这个世界，所以使得我们所认识的世界只能符合某些真理，也就是说，使得一些关于这个世界的判断对我们来说是必然地真的。同时，对这些真理的验证，也并不真的依赖于对这个世界的实际的观察，因为所有可以观察到的东西，由于我们本身用于观察和认知的器官的一些内在的结构，都已经必然地符合这些真理了。所以它们是先天的真理。另一方面，既然我们的认知官能确实对我们的感官所接受到的原始的感觉材料作了组织和处理，那么反映组织和处理的结果的真理，就不会仅仅是空洞的同语反复，而是有着确实的内容。因此它们不是分析的真理。先天综合真理就是这样一些对我们来说必然的，绝对普遍的，不真正地依赖于经验的，但又是有内容的，有所肯定的，不仅仅是同语反复的真理。
康德的哲学非常复杂，我们不可能在这里做深入的讨论。这里，我们只想指出它的两个难点。首先，如果仅仅限于对现实世界中我们所能直接观察到的数量关系与空间形式的判断，康德的解释，似乎确实比简单地将数学等同于其它经验科学更合理、更深刻。从现代科学的角度看，由现代语言学与现代认知科学所揭示的，我们的大脑显然有着某种先天结构。并非我们所有的知识都是对我们的感官所接收到信息的简单记录或简单概括。我们的一些知识可能是由我们的大脑的先天结构决定的。比如，一个能够学习的人工智能系统或机器人，在开始学习之前，必定是先掌握了一些最基本的知识，它们是由系统的程序的结构所决定的。所以，即使是从现代科学的角度看，康德的解释也有它的合理性，虽然康德是从所谓超验的角度来考察这个问题，不是像现代认知科学那样，是从经验的角度研究人如何获得知识。
但问题是，现代数学似乎有它自己的独立于现实世界的对象。因此，现代数学的真理是否也是由我们的认知官能的先天结构决定的，有很大的疑问。如果我们的认知官能的功能，是对我们的感官所接受到的感觉材料进行组织和处理，那么由于我们的感官所接受到的感觉材料都是有穷的，这种认知官能的先天的结构如何能够决定现代数学中关于无穷数学对象和结构的真理？包括关于超穷的集合的真理？康德本人对无穷所导致的所谓二律背反的态度也说明了，要将现代数学中对无穷数学对象和结构所肯定的真理纳入康德式的解释，会有实质性的困难。现代数学与初等数学不同。初等数学中的基本公理，似乎是由我们最直接、最原始的直观就能认识到。现代数学中对一些概念和数学公理的认识，比如对超穷集合概念、无穷基数概念，选择公理等等的认识，是经历了类似于科学中的尝试、错误、再尝试的长期的经验过程，不是像学习数数那样，仅仅是伴随着儿童的大脑发育过程的学习过程。因此，很难认为我们对超穷集合、选择公理等等的知识，也是先天地由我们的认知官能的先天结构决定的。
关于康德的数学观的第二个难点是，康德没有对2、3，5和+这些概念究竟是怎样的概念作出足够清晰的分析。比如，3这个概念，是否就包含着3是2后面的那一个自然数？如果是的话，这是否意味着，2+1=3就是依概念的定义而为真的？由此更进一步，我们能否通过更仔细的分析得出，（2+1）+1=4，乃至2+2=4，2+3=5等等都是依概念的定义而为真的？因此实际上它们都是分析真理？
这两个难点说明，康德对数学真理的解说是不完全的，而且不适于现代数学，至少在未经改造之前不适于现代数学。但同时我们也看到了康德的努力的动因：数学真理，一方面似乎不像今天下雨或者今天不下雨那样是一些空洞的、与内容无关的真理；另一方面，它们也不像今天不下雨那样是一个直截了当的事实的真理。
前面提到，康德没有对数的概念作足够细致的分析。十九世纪末，逻辑学家与哲学家弗雷格正是对包括2、3，5和+等的算术概念作了更深刻的分析，由此他试图证明，算术中的真理实际上也是由概念的定义而为真的，就像上面所提示的那样，因此也就是分析真理。[2]作为这种分析的工具，弗雷格发明了现代数理逻辑，成为继亚里士多德以来逻辑学中最伟大的成就。康德之所以未能做到这一点，就是因为他缺乏这种分析所需要的逻辑工具。
弗雷格对自然数概念的分析很容易通过集合与集合之间的等势关系来理解。两个集合等势，指的是两个集合的元素之间有一个一一对应，也就是两个集合的元素的个数相等。这里很重要的是，两个集合的元素的个数相等这个概念并没有真正依赖于数这个概念，它只依赖于一一对应 这个概念。这个概念是可以用弗雷格所发明的现代数理逻辑语言表达的。然后，一个自然数，就可以定义为一个由所有两两等势的集合（也就是所有元素个数等于那个自然数的集合）所组成的一个类。比如2这个数，就相当于所有恰好包含两个元素的集合组成的类。
这是用了现代集合论的术语来解释弗雷格的自然数概念。弗雷格本身是将概念作为他的理论的初始概念，而将一个集合或类看成一个概念的外延。对于概念，我们说某个东西会落在这个概念当中，比如，弗雷格落在人 这个概念当中，因为弗雷格是一个人。这相当于说，弗雷格属于人 这个概念的外延，即所有的人组成的集合。这样，相应于将数看成一个由所有两两等势的集合所组成的一个类，弗雷格认为一个自然数是一个所谓的二阶概念，或一个概念的概念。一个概念的概念的外延就是一个由一些概念组成的集合或类。概念之间也有等势关系。两个概念是等势的，假如它们的外延是等势的集合。所以，一个自然数是这样一个概念的概念，它的外延是由所有两两等势的概念组成的一个类。比如，2就是这样一个概念的概念：一个概念P落在2这个概念的概念之中，当且仅当P的外延恰好包含两个元素。更具体地说，自然数0是这样一个概念的概念：一个概念P落在0中，当且仅当P的外延是空的，即P是一个空概念；1是这样一个概念的概念：一个概念P落在1中，当且仅当对任何落在这个概念P中的对象x，概念是P但不等于x是落在0中的一个概念，即是一个空概念。显然地，一个概念P落在1中，当且仅当P的外延恰好只有一个个体。但是，要特别注意到的是，0和1的定义中没有循环，尤其是，没有用到自然数的概念。一般地，当我们定义了自然数n以后，n后面的那个自然数(n+1)就是这样一个概念的概念：一个概念P落在(n+1)中，当且仅当对任何落在这个概念P中的对象x，概念是P但不等于x是落在n中的一个概念。不难看出，假如落在n这个概念的概念中的概念的外延都恰好由n个个体组成，那么落在n+1这个概念的概念中的概念的外延也都恰好由n+1个个体组成。自然数的加法运算，也是在这个基础上定义的：假如m和n都是自然数，那么m+n是这样一个概念的概念，它使得，假如概念P是落在m这个概念的概念中，而且概念Q是落在n这个概念的概念中，而且概念P与概念Q不相交，那么概念P或Q就落在m+n这个概念的概念中；而且反之，任何落在m+n中的概念都等价于这样的某个P或Q。
有了这样一些明确的关于自然数与算术运算的定义后，弗雷格试图证明，算术中的定理是依概念的定义而为真的分析真理。也就是说，一旦将相关的概念的定义都明确地表达出来，一个算术定理其实就是逻辑真理。以m+n=n+m为例，由上面对m+n的定义不难看出，它之为真，其实是基于P或Q在逻辑上等价于Q或P这个事实。同样，如果将2，3，5，+等等都按前面的定义展开，2+3=5将变成一个在句法结构上非常复杂的命题。但是，弗雷格的结论是，2+3=5本质上就像今天下雨或者今天不下雨一样，是一个仅仅依或者、不这样的逻辑连接词的含义就为真的逻辑真理。当然，2+3=5展开后还会用到很多其它的逻辑连接词，比如而且，对任何，如果…，则…，当且仅当等等。弗雷格的具体分析很复杂，我们不能在这里详细介绍，它需要现代数理逻辑的专门知识。但如果成功的话，弗雷格的方法可以很自然地推广到实数理论或其它高等数学中，由此说明，高等数学中的定理也是概念上的真理，或逻辑真理。
我们看到，弗雷格的计划是宏伟的。一方面，他要通过更深入的概念分析，说明像2+3=5这样的判断，也是依概念的意义就为真的，可以由有关概念的定义，通过逻辑推理推导出来。另一方面，他所要概括的不仅仅是这样的初等数学，原则上还要包括所有的数学。他要根除康德的先天综合真理的必要性，给我们一个关于我们的知识的更简单的图画。在这个图画中只有两类真理：一类是事实的真理，它们对现实世界有所肯定，它们之为真，是依赖于现实世界的偶然的实际构成，就像今天不下雨那样；另一类就是逻辑真理或分析真理，它们之为真，是由概念的含义本身决定的，与现实世界的实际构成无关，它们对现实世界中的事物无所肯定也无所否定，就像今天下雨或者今天不下雨那样。前一类是自然科学中的真理，后一类则包括逻辑和数学中的真理。逻辑和数学就是同样的东西。
如果成功的话，弗雷格应该能比康德更好地提供关于现代数学真理性问题的答案。前面提到，对于现代数学来说，这个问题的难点是，直观上，一方面我们似乎确实有着关于独立于物质世界的无穷的抽象数学对象和结构的知识；另一方面，考虑到我们自身是生存于这个有限的物质世界中的生物，我们如何能够具有那些知识成为一个谜。比如，我们究竟是依据什么知道存在着无穷多个自然数？我们不能通过去数星星或原子的数目来证明有无穷多个自然数。事实上，这个数目甚至可能是有限的。依弗雷格的思想，回答应该是，断言存在着无穷多个自然数，与断言存在着无穷多个星星或原子不同。前者，是纯粹由自然数这个概念本身决定的。要认识它，并不需要我们有限的大脑通过感官与某些非物质的无穷的数学对象相接触，只需要我们能够掌握自然数这个很具体的概念。通过分析这个概念，我们就可以纯粹从逻辑上，从而且、对任何 、如果…，则…、当且仅当等等这样的逻辑连接词的涵义，推导出这个论断。所以，如果成功的话，一方面弗雷格的解答可以包括现代数学，另一方面，它又消解了那个认识论上的谜，而不必去假设我们认知官能的先天结构等等，因此就超越了康德。
但从另一方面看，弗雷格的思想确实也有神秘之处。逻辑真理应该是对任何事物都是真的真理，不管是有穷多个事物还是无穷多个事物。但是回忆一下前面关于自然数0，1，等等的定义。既使物质世界是空无一物，0作为是一个空概念这样一个概念的概念还是存在的。然后1，2，3，等等作为概念的概念都存在。由空就神秘地生出无穷多个东西来了。这一点，其实与所谓的罗素悖论，及其导致的弗雷格的计划的失败，是密切相关的。
要理解罗素悖论，可以首先注意一下，直观上，有些概念的概念可以应用于自身，有些则不可。比如，是一个概念本身也是一个概念，所以，是一个概念是一个概念，即这个概念可以应用于自身；反之，不是一个概念本身还是一个概念，所以，这个概念不可以应用于自身。现在考虑这样一个概念的概念：是一个不可应用于自身的概念。记这个概念为R，那么对任何一个概念X，X是R，当且仅当X是一个不可应用于自身的概念。特别地，概念R是R，当且仅当R是一个不可应用于自身的概念，也就是说，当且仅当R不可应用于R自身，即当且仅当R不是R。所以我们有：概念R是R，当且仅当R不是R。这是一个矛盾。这说明，概念这个概念本身并不清晰，无限制的运用会导致矛盾。
在弗雷格的严格的逻辑系统中，这个矛盾可以被严格地推导出来，也就是说，弗雷格的系统是自相矛盾的。所以弗雷格的计划未能成功，而对于数学真理究竟是什么真理，它们之为真的基础究竟是什么这个问题，弗雷格未能给出答案。
如果我们将普通的经验真理，比如像今天下雨那样的经验真理，还有自然科学中的描述现实世界的真理放在左边，将像A或者并非A那样的空洞、与现实世界的实际构成无关的逻辑真理放在右边，那么，将数学视为一种自然科学的观点是左派，弗雷格的逻辑主义是 右派，而康德的先天综合真理想法则是中间派。这是描述数学真理的一个尺度。我们将要看到，一些哲学家们对数学真理本性的思考，是在这左、中、右之间摇摆。（当然，这与政治上的左、中、右毫不相干。）
另一方面，有一些对数学的解释在不同程度上否认数学定理是真理。这是描述数学真理的另外一个尺度，即从完全否认数学定理表达真理，到接受某些数学定理为真理而否认另外一些，到相信所有的数学定理都表达真理。比如，二十世纪初数学家希尔伯特提出的形式主义。[3]它承认初等数学或有穷数学包含真理，但是认为无穷数学本身只是一些无意义的符号演算。希尔伯特提出一个希尔伯特方案，试图用来说明为什么那些无意义的符号演算能够有用，也能够帮助推导出一些初等数学的真理。由于著名的哥德尔不完全性定理，这个方案不能按原来所设想的那样得到成功。又如，与希尔伯特同时代的数学家布劳维尔提出的直觉主义数学，认为像自然数那样的数学对象是我们在直觉中的构造，而且，只有我们能在直觉中构造出的数学对象才是存在的，关于这些对象的数学命题才是有意义的，因此才可能有真假。换句话说，超出这些数学对象的命题，比如关于无穷基数的一些命题，是没有意义的。直觉主义对数学作了一些限制，使得数学证明变得更复杂，而且似乎是没有必要地复杂，所以它没有被数学家们采纳。还有一些工具论者，他们认为数学仅仅是工具，数学命题没有真假可言，因为它们不是逻辑意义上有真假的判断。他们认为对于数学命题，我们只能问它们是否有用。限于篇幅，我们不能详细介绍这些对数学真理的解释。
这两个尺度就像两个坐标，可以标示不同的对数学真理的解释。由于种种难点，使得哲学家们在解释什么是数学真理时，不得不在这两个坐标所标示各个位置之间摆动。
当然，这样两个尺度还不足以描述数学真理性问题的复杂性。比如，就数学真理的对象来说，有些哲学家，即所谓的柏拉图主义者，认为数学对象是真实存在的独立于物质世界与我们的心灵的抽象实体。有些哲学家，即所谓的结构主义者，强调数学真理表达的是关于结构的真理，而不是关于对象的真理，因此真正存在着的是结构，而不是抽象实体。还有一些哲学家，即唯名论者，认为抽象实体（包括抽象结构）都不存在，因而数学对象也不存在。所以他们实际上认为，数学判断至少在字面意义上是假的，因为它们在字面意义上所说的数与集合等抽象数学对象都不存在。这是描述数学真理的另外一个尺度。当然，这些哲学家强调要区分数学命题字面上的意义和它们的真正的意义，或经过某种解释后的意义。在字面意义上，一个数学命题似乎是在描述一些独立于物质世界与我们的心灵的抽象实体。但是，有些哲学家认为，数学命题的真正意义是与数学对象无关的，而且是纯逻辑的判断；而有另外一些哲学家则认为，经过某种解释后，一个数学命题就是在描述物质世界，因此也就与自然科学中的命题一样。（见下面的第八小节。）
限于篇幅，我们将侧重于前面所提到的第一个尺度，也就是问，数学真理是处于从自然科学中的事实真理，到逻辑真理之间的什么位置上。这也许是比较重要的一个尺度，因为即使是完全否认数学命题本身就是真理的哲学家，也无法否认，在经过恰当的解释后，一个数学定理蕴含着某种意义上的真理。这些哲学家的观点之间的区别，实质上是在于什么才是恰当的解释，如何去作恰当的解释等等。
弗雷格将数学归结为逻辑的企图未能成功。现代数学最终是建立在集合论之上。在集合论中，我们不再是像弗雷格那样，从概念多少有些神秘地产生出数学对象，而是将集合的存在，比如空集、无穷集的存在，明确地列为公理。所以，集合论至少在表面上似乎是在描述一些特定的对象，而不是像逻辑那样，被认为是仅仅包括对任何对象都真的真理。集合论中的无穷公理、选择公理等等，很难说是纯粹逻辑上的真理。它们都肯定某些特定的事物存在。无穷公理更断言无穷多个事物存在，而逻辑公理应该是对任何可能的事物都是有效的，包括总共只有有限个事物的情形。更何况，一些数学家们还尝试着给集合论增加新公理，以解决一些独立于现有集合论的问题。也就是说，集合论的内容要超出纯逻辑的真理。另一方面，这些数学公理又确实显得不同于普通的自然科学中的有直截了当的事实内容的真理。
面对这样一种状况，一种很自然的反应，是将对数学真理的解释摆回到逻辑真理与科学真理的中间，也就是，从右派向中间派靠拢。逻辑实证主义者，尤其是哲学家卡尔纳普，表现了这样一种倾向。卡尔纳普将数学视为一种语言，将数学真理视为由语言中的约定而来的真理。为了描述这个世界，我们不得不使用一种语言。采纳一种语言，也就是采纳了一个描述世界的概念框架。在卡尔纳普看来，这包括选择一些语言表达方式，选择谈论某些事物，也包括接受一些关于这些事物的基本假设作为约定的真理。[4]
比如，我们原始的谈论物体颜色的方式，可能只是将表达颜色的词作为形容词，说这是红的等等。但是，为了更方便地描述物体的各种不同的颜色属性，我们会选择将红色 等表达颜色的词作为名词来用，而说红色是暖的，而蓝色是冷的等等。这样，红色就似乎指称某个个体事物，似乎有红色这样一个东西作为一个个体事物存在，就像桌子、椅子那样的物体一样，而且它还有某些属性，比如它是暖的。同样地，我们原始的使用数词的方式也许只是像在太阳系有9个行星中那样，并不用数词来指称任何对象，但为了在某些场合下的方便，我们也选择了说太阳系中行星的个数=9。这样也就将9用作一个专有名词，似乎9也指称某个个体事物，某个自然数。同时，我们也谈论自然数的属性、关系，就像谈论物体的属性和关系。这就是选择了谈论自然数的语言框架。这包括将数词用作专有名词，谈论自然数这一类对象极其属性、关系，谈论所有的自然数具有某种属性，或有些自然数具有某种属性等等，还包括接受一些关于自然数的最基本的假设，即关于自然数的公理。
有些哲学家质疑自然数是否真的存在，因为如果它们存在的话，它们将不是存在于时空之中，它们将是独立于物质世界的一些对象，仿佛是存在于另外一个宇宙中的事物。卡尔纳普认为，说自然数存在只是意味着我们选择了谈论自然数的语言框架，即将数词用作专有名词等等。一旦选择了将数词用作专有名词，自然数的存在就是语言约定的结果。选择了谈论自然数的语言框架后，我们可以问：存在着9与13之间的素数吗？等这样一类问题。卡尔纳普称这一类问题为语言框架的内在问题。它们是在选择了自然数的语言框架后，因此也就是约定了自然数的存在和基本属性后，在语言框架的内部提出的。对它们的回答，要看它们能否从关于自然数的那些最基本的假设，即关于自然数的公理，逻辑地推导出来。至于自然数真的存在吗？这样的问题，卡尔纳普称之为语言框架的外在问题。卡尔纳普认为这样的外在问题是无意义的，因为，一旦接受了自然数的语言框架，自然数的存在就是约定了的；而在接受这个语言框架之前，根本就没有自然数这个概念，因此这个问题也提不出来。卡尔纳普认为，对于语言框架的选择，我们只能问它的实际效果如何，它的简单性，便利性如何等等，而不能去问这样一个语言框架是否真正地对应于语言框架之外的某种意义上的实在，比如，不能去问我们关于自然数的判断是否符合某些存在于独立于物质世界与我们心灵的数学世界中的对象。
现代科学选择了现代数学的语言，这包括集合的概念和关于集合的公理等等，也包括在这些基础上定义的各种数学结构。所以依卡尔纳普的解释，数学定理，作为由这些公理逻辑地推导出的结论，也是依这个语言框架的选择为真的。前面提到，弗雷格的失败，在于数学的内容似乎是超出纯逻辑真理的。所以弗雷格遗留下的问题依旧是，这些数学真理的基础是什么？卡尔纳普的回答是，这些数学真理是语言约定的结果。选择一种语言框架，包括了假设某些对象，而且包括接受关于那些对象的一些基本假设。这些都是有特定内容的，都超出了纯逻辑真理的判断，但是，我们不能问它们是否是对某种超出语言约定的客观实在的准确描述，而只能问整个语言约定本身是否有效、便利、简单等等。
上面第一小节中曾提到一种观点，认为数学公理只是假设，数学家只是从这些假设的前提推导出定理。卡尔纳普所说的听来与此相似，但有一个实质性的差别。考虑一个像假如A，那么B那样的断定由假设A可以得出结论B的陈述。当我们将它用于实际中时，我们必须验证一下A是真的，然后才能得出B。对于卡尔纳普来说，一种数学语言，包括其中的数学概念与公理，是我们认识世界所必不可少的整体上的概念框架。我们将其应用于实际中时，不再验证其中的公理是否为真，因为它们是我们在采纳这种语言框架时就已经接受了的。同样，在科学中，提出一个特别的假说是为了解释某种现象，因此我们要去检验一个假说。但是，要表达任何科学理论，包括表达对任何科学假说的检验，都必须先有一种语言，包括先有语言所蕴含的概念框架。这样一种语言和概念框架不同于一个个单独的科学假说。它是先于任何科学假说的，不能像科学假说那样被检验，因为任何检验都预设了这个语言和概念框架本身。当然，卡尔纳普承认，我们可以问这样一种语言和概念框架在总体上是否有效、便利、简单等等。
还可以将卡尔纳普的回答与康德的思想相比较。康德也是将数学真理置于逻辑真理与事实真理之间，也是将数学真理视为我们认识世界的前提，而不能被经验检验的。但是，康德是想通过假设我们认识世界的官能有某种先天结构，或先天认知形式，来直接地回答数学真理是如何为真的，以及我们实际上是如何认识这些真理的。我们前面已经提到，康德的这种思想的困难是，它无法解释现代数学中那些关于超穷的抽象数学对象的真理。尤其是，我们对这些现代数学公理的认识，是在实践中经过尝试得到的，似乎不是由我们的先天认知形式决定的。卡尔纳普是用语言框架的选择来代替对我们的先天认知形式的假设。语言框架的选择是后天的事情，是我们科学实践中的事情，具有一定的灵活性，而且是经过一些尝试、错误、再尝试的结果。比如，从十九世纪开始，数学家们尝试将数学分析严格化，由此最终导致二十世纪被普遍接受的集合论语言。这样，一方面，卡尔纳普接受了数学真理有着超出纯逻辑真理的内容但又有别于普通的经验真理这样一个事实，另一方面他又试图回避康德所作的工作，或者说试图尝试与康德不同的解释。他不回答这些数学真理的基础究竟是什么，我们是如何认识这些真理的，而是反过来说这些真理只是我们作的语言上的约定。这些约定是我们尝试的结果，而且，从实用的角度我们可以评价这些约定是否有效、便利、简单等等，但是，卡尔纳普认为，询问这些约定是否对应于超出这个语言框架之外的实在是无意义的，因为这个语言框架已经是最基本的东西了。任何有意义的问题都要在一个语言框架中来问。
从我们前面的分析看，卡尔纳普的这种策略，似乎是我们所面临的困境的一个自然的结果。但是，我们应该清楚，这种策略是仅仅是对困难的回避，还是对数学真理的最好的解说。这里，实质性的问题是，卡尔纳普没有对一个语言框架为什么会比另一个语言框架更有效、便利、简单作进一步的解释。有效、便利、简单等等，只是对工具的使用效果的描述，而不是对工具的内在机制的描述。在日常生活中，当我们说一个工具是有效、便利、简单时，我们都相信这有它内在的原因，由这个工具的内在结构与规律性，由它的内在工作原理，由它与它所使用的对象在某种意义上的符合决定。即使数学语言、数学定理仅仅是工具，即使数学定理本身没有真理性可言，数学在自然科学中的广泛适用性也应该有个原因。卡尔纳普的本意是想回避哲学家们无谓的形而上学的玄想。这与逻辑实证主义尊重科学反对形而上学的一贯思想是一致的。但是，按我们的理解，这里对数学语言的广泛适用性的内在原因的探求不是形而上学的玄想。相反，它是像现代认知科学中探索我们人类究竟如何认识世界一样，探索我们人类的数学概念和知识的来源是什么，我们人类的数学概念和知识是如何对应于世界的，如何能在科学中有广泛的应用。问题的起点是一个科学问题，尤其是一个认知科学的问题，而不是一个卡尔纳普所理解的形而上学问题。用卡尔纳普的内在问题与外在问题的区分，它是一个内在问题。
比如，我们可以对一个科学命题问同样的问题，比如牛顿引力定律。我们也可以问，这个命题的真理性基础是什么，我们是如何认识它的，对它的认识如何带来效果、便利、简单性等等。这里我们也接受了一个概念框架，包括谈论物体、力等等。然后，我们可以考察我们的大脑是如何通过感觉器官与物体、力等等相联系，从而认识物体、力等等。我们可以考察我们关于物体、力等等的判断是如何符合物质世界中的实情。然后，我们可以用这种符合，即真理性，来解释我们如何成功地利用这些知识。这些都是在接受了这个概念框架之后的考察。在这种探索中，我们有了我们的大脑如何认识关于物质世界中的事物的真理和如何有效地利用这些真理的一个图景。在这种探索中，我们也认识到，我们可以约定我们的词的用法，比如可以将表达颜色或表达力的词用作名词，但是我们也意识到，有实质性内容的判断是不能约定的。比如，虽然我们将表达颜色的词用作名词，因此在这种意义上我们约定了一个颜色也是某种个体事物，但是我们很清楚我们不能约定有无穷多种不同的颜色。同样，我们接受了谈论物体、力等等的语言，但是究竟有多少种力、有多少个物体不能是依约定而真的。这些当然都是在接受了一个概念框架之后的探索和认识。所以，在这种探索中，我们也得到了某些事物、某些真理是独立于我们的思想的这样一个认识。所谓的独立于我们的思想，也是在经验范围之内，或在我们所接受的概念框架之内的概念，是将人看作自然界的一部分，而说自然界的另一部分相对独立于人的思想。这并不是形而上学的玄想。同样，我们也得到了语词上的约定不能包含对世界中的对象有实质性内容的判断这样一个认识。概括地说，我们可以在我们的概念框架之内考察我们自身如何认识关于物质世界的真理以及如何利用这些真理，由此我们有了关于我们自身的认知活动的一个图景，其中既显示了我们的大脑是如何与物质世界相联系，以认识关于物质世界的真理，又显示了物质世界是独立于我们的大脑这样一个事实，还显示了我们认识的真理是如何有用的。
然后，假如我们依卡尔纳普的建议，将数学对象与真理视为一种语言上的约定，那么我们可以进一步反思我们自身作为自然界中的生物的语言与认知活动，也就是在我们已经接受了的概念框架之内，考察我们的数学语言本身。毕竟人类接受某种概念框架本身也是一种自然界中的现象。当然，我们不否认对这样的现象的考察本身也是在一个概念框架中进行的。首先，我们自然地将数学对象与物质世界中的对象相比拟，由此得到的困惑是，我们如何能断定或约定有无穷多个数，无穷多个集合，而不能约定有无穷多种力、无穷多个物体？同样地，我们无法像解释如何认识引力定律那样，描述我们的大脑如何通过某种器官与无穷多个自然数或超穷集合相联系，从而获得关于它们的知识。然后我们想到，卡尔纳普的本意也许是说，我们关于数学对象的约定，是与其它场合我们所理解的关于语词使用的约定完全不同的一种类型的约定。在这种约定中，我们可以约定一些有实质性内容的真理，然后我们去尝试看这些约定是否带来成功、效率、简单性等等，而不再去问大脑与那些约定的对象是如何相联系的。但我们依旧有一个问题：为什么这些约定会带来成功、效率、简单性等等？它的内在原因是什么？是什么内在机制决定了这些约定会带来成功、效率、简单性？对于我们所认识的牛顿引力定律为什么带来成功、效率、简单性我们有一个自然的解释，即它符合物质世界的实情。而如果那些数学公理是约定的，而有些约定并不带来成功，这个问题就变得更迫切。
所有这些问题，都是卡尔纳普意义上的内在问题，不是形而上学的玄想。是在这个概念框架之内产生的对我们自身的语言使用与我们的认知能力的困惑。卡尔纳普没有回答这些真正的问题。他只是描述了我们的数学语言的使用结果，而没有对数学语言为什么有效、便利、简单作进一步的解释。完全拒绝进一步解释的可能性是不合理的。在从事任何研究中我们当然都不得不使用我们的大脑，但这并不等于说我们不能用我们的大脑来研究大脑自身，研究我们自身是如何获得知识的。同样，我们应该也可以在一个概念框架之内问这个概念框架是为什么有效。至少，对于我们关于物质世界的知识，我们有一个概念框架之内的答案。更重要的是，如果再考虑到数学家们和科学家们对数学概念和公理的选择显然不是任意的。他们显然不是随机地选择一些概念和公理作为我们的语言框架然后试图用于科学。再考虑到数学概念和公理在直观上有它们的自明性。因此，很自然的想法是，如果我们要深入地探索数学在自然科学中的广泛适用性的内在原因，结论有可能是：数学公理是对某种独立于我们的实在（即数学世界）的真实描述。当然，这不是必然的结论，但这恰恰是卡尔纳普需要证明的。
这是我们认为的卡尔纳普的约定主义的主要问题。如果弗雷格的计划可以实现，那么它没有这个问题，因为数学定理的真理性就在于它们是纯逻辑真理，因而是对任何事物的真实的描述。它们带来效果是因为它们与外部事物符合，而它们带来便利、简单性，是因为它们是一些非常复杂的逻辑真理的简单表述。如果康德的思想可以推广到现代数学，它也没有这个问题。这与卡尔纳普的回答有细微的区别，因为它断言了数学是对任何我们可能认识的世界来说都是必然的真理，而不是多少有些随意的约定，因此数学的应用效果是由它的真理性决定的，不再需要别的解释。卡尔纳普将数学解说为后天的约定。这回避了现代数学对康德的思想的挑战，但是，既然是后天的约定，既然约定有有效的、有不有效的，我们自然需要一个解释，为什么有效、为什么不有效。
当代哲学家中对卡尔纳普的批评主要来源于两个方向：著名的逻辑学家哥德尔的批评侧重于强调数学的真理内容其实要超出任何可能的语言约定；哲学家蒯因则强调在所谓约定的真理和事实的真理之间没有明确的界限。我们这里给出的对卡尔纳普的约定主义的问题的分析稍有不同，但我们认为这才是约定主义的真正问题。
事实上，这里对卡尔纳普的分析也适用于哲学家蒯因的观点。[5]蒯因的哲学观点常常被拿来与卡尔纳普的观点相对照，因为他是从批评卡尔纳普开始他的主要哲学思考的。但从我们看来，实际上他与卡尔纳普，尤其是与后期的卡尔纳普，相似之处远远大于差别。蒯因对卡尔纳普的批评主要强调，在所谓约定的真理和事实的真理之间没有明确的界限；同样，在所谓先天的与后天的、分析的与综合的真理之间也没有明确的界限。由此，蒯因所给的关于我们的知识的图画是：我们用包括逻辑、数学和自然科学的整个信念的网络来应对自然；逻辑真理、数学真理与自然科学真理一样都是由经验决定的；逻辑、数学和自然科学的区别是，逻辑和数学是处于我们关于自然的信念的核心，是我们最强的信念，而当我们在应对自然中遇到问题，因此需要修改我们的信念时，我们总是从修改外围的信念开始，而保持核心中的逻辑和数学。在蒯因看来，逻辑和数学也不是绝对不可修改的。我们的整个的信念网络在整体上受到经验的制约。这个图景看起来与卡尔纳普所描画的不同，但要点是，蒯因同样不回答我们的数学信念是否是对某个独立于我们的数学实在的真实描述。相反，在他看来，我们不能脱离理论去问哪些对象真的存在，而只能问一个理论承诺了哪些对象存在。既然数学在科学中有着必不可少的应用，科学就承诺了数学对象。所以蒯因同样是从数学和自然科学整体上的成功来说明数学的真理性。蒯因所提出的对数学对象存在的论证是所谓整体论，即数学与科学整体上成功，科学承诺数学对象，因此恰恰在这种意义上数学对象存在。
对我们来说，重要的是蒯因也没有回答为什么数学会有用，而只是说既然数学有用，它就是真的了。当我们将我们自身的科学活动（或蒯因所说的应对自然的活动）当成自然现象来考察时，对于我们的关于物质世界的信念为什么有用，我们可以有一个自然的解释，即我们的大脑中的信念是正确地反映外部物质世界的实情的。这也包括解释我们的关于一些不可观察的物体的信念，比如关于原子、电子的信念，是如何有用的。这当然是在自然科学框架内的解释，是假设了外部物质世界存在，包括不可观察的物体存在，假设了科学的真理性后的解释。是物理学加上认知科学的解释。这与蒯因所提倡的所谓认识论自然化是一致的。而对于数学，我们的问题是，假如将数学对象看作是像原子、电子那样的独立于我们的大脑的对象，那么我们不能描述我们大脑，是如何与那些又是独立于物质世界的无穷数学对象相联系，而获得那些数学信念；而如果我们不用这种方式描述我们的数学信念与外部世界的联系，那么我们就需要回答数学真理究竟是什么，需要以另外的方式解释数学为什么有用。蒯因没有提示任何解释，而只是描述了数学有用这个结果，然后说，既然有用，它就是真的了，而且数学对象也就存在。这只是给一个谜贴了一个标签，起了一个名字，并不是解开了那个谜。
在自然科学中，我们并不用这种整体论的方式来证明某些事物存在。比如基本粒子，它们存在是因为它构成了原子，原子发射光子到我们的视网膜，最终使我们认识到它们。当然，这个图景中有许多是科学假说，但它们是被科学充分验证的假说，所以按蒯因所提倡的所谓认识论自然化的理念，这是哲学家们所应当接受的。这里的要点是，即使像基本粒子那样离我们最遥远的事物，我们也有一个直接的图画，描述我们的大脑如何获得关于它们的知识，以及关于它们的知识将如何有用。在自然科学中，当我们不能明确地描绘出某些事物的存在时，我们只能将它们看作有待进一步探索的假说。比如，DNA及其作用被发现前，遗传基因的存在是不确定的假说。我们当然不能说数学对象的存在也是这样的不确定的假说，因为数学真理似乎是确定和明显的。对于数学对象，我们真正的困难是，一方面，数学公理似乎明显地是关于那些抽象的无穷数学对象的真理；而另一方面，我们又不能描述我们的物质性的大脑是如何获得那些真理的；而如果我们拒绝将数学公理看作是关于那些独立于我们的抽象的无穷数学对象的真理，我们又没有其它明显的对数学的真理性和可应用性的解释。对这个疑问，整体论，以及由数学有用得出数学对象存在的论断，没有提示任何解答。
7 回到数学是一种科学：哥德尔的概念实在论
哥德尔是继弗雷格之后的最伟大的逻辑学家。他证明的不完全性定理深刻地影响了我们对数学的本性的认识。前面提到，由于数学定理有着超出纯逻辑真理之外的内容，弗雷格的计划不能实现，因而卡尔纳普将数学公理视为我们的语言上的约定。基于不完全性定理，哥德尔指出，数学真理的内容甚至要超出我们任何可能的语言约定，因此卡尔纳普的约定论，不能真实地描述数学真理。由此，哥德尔进一步认为，数学定理确实是关于一个独立于物质世界、也独立于我们的心灵的数学世界的真理。就像物理学研究这个宇宙中的物质，探索关于这个宇宙的客观真理一样，数学研究另外一个世界中的对象，探索关于那个世界的客观真理。在这个意义上，数学与自然科学是相同的，虽然它们的对象不同，而且方法也有差异。要点是，它们都在追求客观真理。[6]所以哥德尔是正面肯定了导致关于数学真理性的困惑的一个前提，因此他必须回答我们究竟是如何认识数学真理的。
哥德尔的不完全性定理及其导致的对约定主义的反驳可以这样通俗地解释：[7]我们回忆一下，接受一种数学语言框架意味着接受一些作为最基本的约定的数学公理，比如集合论的公理。然后，约定主义声称，数学真理就是由这些公理可以推导出的定理。由于数学公理可以归为有限的那么几类，可以证明，由数学公理可以推导出的所有数学定理的集合就有一种相对简单的结构，逻辑学中称为递归可枚举的。直观地说，这意味着原则上可以设计一个计算机程序，将所有的从公理可推导出的定理一个一个地输出来，没有遗漏。（但是，如果一个数学命题是不能从公理推导出的，我们无法预先知道它将永远不会被这个程序输出。因此这个程序不能在有限步内断定一个命题是或者不是定理。）另一方面，如果我们假设任何一个数学命题非真即假，那么所有数学命题的集合将一分为二成真命题的集合与假命题的集合，而且，一个命题在其中一个集合中，当且仅当它的否定在另一个集合中。哥德尔的不完全性定理实际上证明了，由于这样的特点，所有真命题的集合有着相对复杂的结构，要比由所有从公理可推导出的定理组成的集合，在本质上更复杂。特别地，它不是递归可枚举的，也就是说，原则上不存在一个计算机程序，它能够将所有的真命题一个一个地输出，没有遗漏。直观上这也不难理解：从公理可推导出的定理的集合，是从有穷多类的公理在有限步内用推理的方式产生出来的。它有数学中常见的所谓有限生成的特征。另一方面，真命题的集合是用真这个抽象概念定义出来的，它没有那种有限生成的特征。当然，这只是直观的解释。在数理逻辑和哥德尔的不完全性定理中，对这些有数学上严格的定义和证明，包括如何严格地定义数学命题的集合，如何严格地刻画定理的集合，以及刻画真命题的集合与定理的集合的这种本质上的差异，等等。回到约定主义，这意味着，假如我们承认一个数学命题非真即假，而且假如我们又将数学真理是依约定为真理解为数学真理就是由约定的公理可以推导出的定理，那么它在技术上是错误的，因为所有真命题的集合要严格地大于定理的集合，而且与定理的集合有着本质上不同的、更复杂的结构。换句话说，任何约定不能穷尽数学真理。
哥德尔的不完全性定理的一个推论是，一定有些数学命题P，使得P是真的但不能由公理推导出来；同样地，并非P就是假的，但不能由公理被反证。这样的命题称为独立性命题，即P和并非P两者都不能由作为约定的公理推导出。它们是独立于我们作为约定的公理的。这里我们必须指出，用这个不完全性定理来反驳约定主义有一个前提，即任何数学命题非真即假，包括那些独立于我们的约定的命题。这实际上也就是假设了，一个数学命题有着独立于我们的认识的真假，表达了某个客观上的真理或谬误。约定主义者可能会拒绝这个前提。他们可能会说，一个数学命题P是真的，指的就是P可以由作为约定的公理推导出；P是假的就是指并非P 可以由作为约定的公理推导出。假如P是独立于我们作为约定的公理的，也就是说假如P和并非P两者都不能被推导出，那么P就既不真也不假。这应该是与约定主义者的精神更一致的。所以，这种对约定主义的批评，并不是证明了约定主义有内在的、严格的矛盾。它是在一个反约定主义的假设之下，说明约定主义与这个假设相矛盾。
由哥德尔的不完全性定理还可以得出一个具体的独立性命题，由此也有对约定主义的一个更具体的反驳：一旦我们接受了一些公理作为数学语言的约定的基础，我们应该相信这些公理是互相之间没有矛盾的。在数理逻辑中，我们可以将这些公理是无矛盾的这样一个论断本身表达为一个数学命题。哥德尔的不完全性定理的一个结论是，这样一个断定一些公理的无矛盾性的命题，恰恰是相对于那些公理的一个独立性命题。也就是说，无论你选择哪些公理作为数学语言的约定的基础，断定这些公理的无矛盾性的命题，恰恰不能从这些公理本身推导出。既然我们接受了那些公理，直观上我们当然相信这些公理的无矛盾性。因此，一个推论就是，我们直观上把握的数学真理，是超出任何一些作为数学语言的约定基础的公理的。换句话说，一旦认识了一些公理，我们直观上也就认识到了这些公理之间的无矛盾性，而这是独立于那些公理的新的认识。
但这也不是真正地驳倒了约定主义者。从约定主义者的角度看，这仅仅意味着，一旦我们选择了一些约定的公理，并且在实践中看到了这些语言约定带来的效果、便利性和简单性，尤其是看到了它们没有产生什么矛盾，那么有必要的话，我们很自然地可以进一步将这些公理的无矛盾性作为新的约定，并期待这新的约定也会带来效果、便利性和简单性。至于这个无矛盾性判断本身是不能从原先的约定中推导出的，这并不重要。约定主义者并不要求一次选择的约定就是完备的、包罗万象的，不再被改进的。既然对于语言约定我们只能问它的效果、便利性和简单性，既然我们是在尝试中修改我们的约定的，就没有理由要求，最初的一些约定可以推导出它本身是无矛盾的。这个状况确实说明，接受一种语言框架会蕴含着接受一些关于现实世界的信念，比如相信我们从这个语言框架的基本假设中不至于推导出矛盾来。但是，这本身并不蕴含着要接受完全客观的、独立于任何语言框架的数学真理。
这里很重要的是，约定主义者必须否认一个语言框架（或一个公理系统）的理论上的无矛盾性本身是有完全客观的、独立于任何语言框架的真理性的。换句话说，约定主义必须是彻底的。用哥德尔的不完全性定理来反驳约定主义，实际上是预设了一个反约定主义（或不彻底的约定主义）的前提，即：一个语言框架（或一个公理系统）的理论上的无矛盾性有着独立于任何语言框架的客观真理性。这样一个预设的前提常常逃过了我们的注意，因为表面上看它不是一个数学命题，不是一个关于抽象数学对象的判断。但我们要仔细区分两个完全不同的判断：（1）在现实世界中，我们这些生活在地球上的人将不会从这个语言框架的基本假设中推导出矛盾；（2）这个语言框架理论上是无矛盾的。前一个判断当然是关于事实的判断，但后一个判断实际上是一个数学命题。它指的是，任何抽象的、任意长的数学证明，都不能从这个语言框架的公理推出矛盾。要点是它假设了无穷。既然对于约定主义者来说，数学中关于无穷的真理都是相对于某个语言框架的约定的真理，约定主义者不必承认命题（2）有着超出这些约定的客观真理性。哥德尔的不完全性定理只是说（2）恰好是独立于这个语言框架的。约定主义者可以承认，既然接受了这个语言框架，就很自然地可以接受（2），但他们无需承认命题（2）有着超出这个语言框架的客观真理性。至于命题（1），它实际上是我们在实践中渐渐接受这个语言框架的同时渐渐地产生的信念。对于约定主义者来说，并非相信（2）的超出这个语言框架的客观真理性是相信（1）的理由，而是相反，我们在实践中渐渐产生的关于（1）的信念，才是我们采纳这个语言框架，并可能由此进一步接受（2）作为约定的一部分的部分理由。
总之，假如约定主义者是彻底的、自我一致的，假如一开始他们就不承认数学命题是在描述一个独立于物质世界、独立于我们心灵的客观的数学世界，因此也不承认一个数学命题在这个意义上非真即假，那么由不完全性定理得出的对约定主义的反驳，就没有正面地驳倒约定主义。它实际上是以另一种方式揭示了本文一开始提到的关于数学真理性问题的困惑：一方面，我们似乎是在谈论着一个独立的数学世界，而且我们似乎有着一个数学命题对于那个独立的数学世界中的数学对象为真这样一个真概念；另一方面，我们又只能从有限个公理在有穷的步骤内推导定理。不完全性定理揭示了真命题的集合与定理的集合之间的本质上的差异。但是，不完全性定理本身也是从那有限的几条已知的公理推导出来的，而且事实上，自从大约一百年前现代数学的基本公理被确定下来后，最基本的数学公理从来没有什么实质性的增加或修改。因此，我们会问，我们果真有那个相对于一个独立的数学世界的真概念吗？也许从一开始那只是幻觉。
要更深入地探讨这个问题，一方面，从约定主义的角度，就要回答为什么一种约定会带来效果、便利性和简单性。这也包括回答我们为什么相信一种约定是无矛盾的。上一节我们指出了，卡尔纳普没有回答这个问题。这是卡尔纳普的约定主义的真正缺陷。另一方面，要正面地对哥德尔的数学观作辩护，就要回答我们究竟是如何认识那些关于无穷的抽象数学对象的真理的。
哥德尔是认真地在尝试回答这个问题。哥德尔的晚年有数十年的时间是在思考这个问题，但是他自己认为他没有得到很好的答案，他相关的思考也一直没有正式地发表。哥德尔提到了两种类型的对公理的认识。其一是基于我们对抽象数学概念的直觉。比如，对集合论的基本公理的认识，是基于我们对集合这一概念的数学直觉。哥德尔曾花了很多时间试图对这种所谓的数学直觉作出合理的说明。他需要说明，我们的心灵是如何得到这样的独立于我们的心灵，也独立于物质世界的客观的概念。哥德尔认为，抽象数学概念是比科学中的概念更精确、更确定、更根本的概念。它们应该是整个科学的基础。如果我们再一次与康德的思想相比较，我可以看到，一方面，对于哥德尔来说，抽象数学概念和对象是独立于我们的心灵的，就像物质世界中的事物是独立于我们的心灵一样，因此数学真理不是由我们的认知形式本身决定的真理。同时，抽象数学概念和对象还是独立于物质世界的，因此我们不是由感觉器官来认识抽象数学概念和对象的。而另一方面，他又要说明我们有某种直觉可以直接地认识到关于抽象数学概念和对象的真理，而且这种认识也应该是不依赖于我们对这个物质世界的经验。至少应该像康德所说的我们对5+7=12那样的算术真理的认识一样：虽然儿童是通过学习才意识到这样的真理，但是它们的真理性其实是不依赖于经验的。通过这种比较我们也可以看出哥德尔所面临的看起来是不可逾越的障碍。
哥德尔还提到了另一种类型的对公理的认识。对于有些缺乏数学直观的公理，我们可以考察由公理所推导出的定理。这里，哥德尔主要是在考虑如何通过引进新公理来解决连续统假设问题。连续统假设已知是独立于现有的集合论公理的。比如，假如一个由新的公理可以推出许多定理，而且这些定理看起来是合理的，有着许多成功的应用，而且其中有一些定理不用这个公理也可以证明但要用一些更繁琐的方法，等等，那么，哥德尔认为这就在一定程度上验证了这个新公理。哥德尔认为，这与自然科学中通过验证由一个非常抽象的理论假说推导出的结论，来间接地验证一个假说是一样的。
这里应该指出的是，仅仅有这一类型的对数学公理的真理性的说明是不够的。它不能说明数学的确定性、普遍性和必然性，也不能解释数学广泛的适用性。反之，假如哥德尔对于数学直觉的探索能够成功，然后以此作为补充，那么我们确实就有了一个对数学的真理性基础和数学的广泛适用性的一个解释。这里，数学的有用性还是基于它与客观实在的符合。但是哥德尔直到去世也没能完成他的愿望，而且我们也看到了其中巨大的困难。
8 探索还在继续：新逻辑主义、物理主义、新自然主义等等
西方哲学家对数学真理性问题的思考，最近几十年还在继续着。总体上应该说还是没有很好的答案。这些新的探索也呈现一些新的特点。比如，一些哲学家不再追求对什么是数学真理这样一个问题的整体上的回答，而区分不同层次的数学；有些还区分对数学命题字面意义上的理解和经过某种解释后的理解。限于篇幅我们不能详细地一一介绍，这里只简要地介绍评价其中的一些有代表性的观点。
我们知道，弗雷格将整个数学还原为逻辑的企图不能成功，但是一些研究者指出，如果限于初等算术，弗雷格的方法还是可行的。哲学家Crispin Wright等更进一步提出，这确实证明了至少算术真理是分析的真理。这是将算术真理的定位又摆回到了逻辑真理这一端。关于这一点学界有争论[8]。这里我们不评论这些争议，只是指出，既然我们明确地知道，同样的方法不能解说整个现代数学，我们也有理由认为，它有可能没有抓住我们的数学知识的本质。当然，这并不是说数学的各个部分一定有某种共同的本质，而是说，对数学的一些领域的合理的解释，应该至少能够提示同样的解释在其它领域不合理的理由，由此也应该能够提示，对其他的数学领域，怎样的解释才可能是合理的。在简单的算术真理，与较复杂的初等数学分析的真理，直到离现实最远的抽象集合论中的真理，它们之间有一个相对连续的谱系。如果算术真理截然地是分析的，而集合论的真理截然地不是分析的，我们显然需要一种更深入的理解，来说明从算术到抽象集合论之间，数学真理的基础是如何渐渐地改变的。
Steven Yablo以另外一种方式提出，算术真理就是逻辑真理[9]。他认为，在字面意义上，2+3=5似乎是在表达关于某种特殊的对象即自然数的一个判断，但它有一个真正的内容，其意义是：如果存在两两不等的x1，x2 是P，而且存在两两不等的y1，y2，y3 是Q，而且P与Q不相交，那么存在两两不等的z1，z2，z3，z4，z5 是P或Q。这相当于说：如果2个事物有属性P，3个事物有属性Q,而且P与Q是不兼容的属性，那么有5个事物有属性P或Q。这里的要点是，改写以后的句子，不再在表面上是关于自然数这样一些特殊的对象的判断，而是成了关于任意属性的逻辑真理。我们知道，逻辑真理就是对任何对象和属性都有效的真理，而2+3=5表面上仅仅是在陈述关于自然数的一个特殊事实。所以我们会感到困惑，这样一个关于某种非物质的数学对象的真理究竟是些什么。Yablo想以此说明，这样的困惑是被算术判断表面上句法形式迷惑了，而隐藏在背后的，其实是个逻辑真理。这与弗雷格的思路是一致的，不过Yablo用了表面上更简单的逻辑手段，而不是像弗雷格那样将数看成概念的概念。
但是，Yablo的这样一种策略有一个重要问题。首先，为了将对任何自然数m，m+3=3+m这样的算术真理翻译成逻辑真理，用Yablo的话说，也就是为了要找出这样一个算术命题的真正内容，我们必须先将它表达成一个无穷长的句子，即0+3=3+0，而且1+3=3+1，而且2+3=3+2，…然后再将其中的每一个简单算术等式表达成像上面那个例子那样的逻辑真理。结果也是一个无穷长的句子。如果我们要用类似的策略，将数学分析中的真理翻译成逻辑真理，我们将要得到由不可数个符号组成的句子，因为有不可数个实数。Yablo断言，这样无穷长的句子还是表达一个逻辑真理。这当然要让多数哲学家摇头。更重要的是，这没有解答我们关于数学真理性的困惑。这个困惑是，我们的由有限个神经元组成的大脑，究竟是如何可能认识那些无穷的数学对象的。我们的大脑里显然没有这样无穷长的句子，或某种意义上无穷长的思想，更不用说由不可数个符号组成的句子。事实上，到此为止我们也只用了由穷个词来解释Yablo的观点。因此，事实上我们是用数学中表达和理解无穷的方式来表达Yablo的所谓的无穷长的句子，也就是将它们看成数学中的无穷序列。所以，我们如何能够认识这种无穷长的真理的问题，也就是我们如何能够认识无穷的数学对象的问题。Yablo将像对任何自然数m，m+3=3+m这样的关于无穷多个自然数的命题翻译成一个所谓的无穷长的逻辑真理，并没有给回答这个问题作任何提示。
哲学家Hartry Field将数学的一部分解释为关于物质世界的判断，比如，将实数解释为时空中的点，将初等数学分析解释为关于时空中的点的顺序和关系等等的判断。这样解释以后，一部分数学就成了关于物质世界的客观真理，与一般的自然科学真理一样。Field希望证明，这一部分数学其实就足以为科学应用提供数学工具。[10]但是，为了解释无穷数学，他假设了时空是无穷的。我们知道，依现代物理学，时空有可能是有限且离散的。更重要的是，数学的有效性和可应用性显然不依赖于时空是有限还是无穷的。所以，这种尝试显然错过了我们的数学知识的真正本质。
哲学家蒯因一直在提倡一种认识论的自然主义观点。其要点是，哲学不能提供高于自然科学的认识论标准；哲学家对与科学活动中的认识论问题的思考，应该是自然科学的自然延伸，应该采用与科学家一样的方法和标准；而且哲学家对科学活动的思考只能是描述性的，而不能是规范性的，即不能提出科学家应该做什么。这是为了反对一些哲学家将哲学置于比自然科学更高的地位，而希望哲学能够为自然科学提供基础的倾向。当思考到数学问题时，蒯因由此得出的结论是，我们应该像科学家相信原子、电子存在那样，相信数与集合等抽象数学对象存在，包括无穷的抽象数学对象存在。因为，现代数学是现代科学的一个部分，就像科学家为了解释观察到的现象必须假设原子、电子存在那样，现代数学在现代科学中的成功应用，也使得我们必须相信它的对象存在。
但是，科学家们对数学对象的态度与他们对原子、电子的态度似乎实际上是不同的。科学家们很认真地考察证明原子存在的证据。他们会区分原子是真的存在，还是只是一种有用的虚构。比如，在布朗运动现象被发现而且得到原子论的解释之前，许多科学家还是认为原子论在化学中的成功只说明它是一种很有用的假设。只是在布朗运动现象得到原子论的解释之后，科学家们才认为我们有了原子存在的充足的证据。但是对于数学对象，科学家们似乎只是使用它们，只关心它们是否带来方便。比如，科学家们并不关心无穷集合是否真的存在，还是说谈论无穷集合只是一种方便的语言表达方式。这种差别在蒯因的哲学中没有表现出来。哲学家Penelope Maddy在这方面改进了蒯因的哲学。[11]她将数学与自然科学分开，认为数学家的方法论与自然科学的方法论有所不同。她描述了数学家，主要是集合论研究者们所采纳的方法论原理，考察了集合论研究者们是如何依据类似于简单性、推论的丰富性那样的标准来选择集合论的公理。在她的这种描述下，数学更多地像是一种工具，而不是某种知识或信念。因此她的哲学倾向其实更多的是卡尔纳普的哲学观点的深化，是对我们如何选择作为语言约定的公理作了更深入的描述。但是，对于我们来说，重要的是，她依旧没有回答我们前面提到的关于卡尔纳普的问题，即为什么一种数学语言是有用的，为什么可以它在科学应用中带来真理，它的内在机制是什么，它的成功应用是不是说明了它表达了某种独立于我们的客观真理。
对于数学真理性问题的探索还在继续着。我们期待将有更好的回答。
参考文献
[1] 类似的疑问最早是由P. Benacerraf提出的。参见P. Benacerraf: Mathematical Truth, 载于P. Benacerraf & H. Putnam (eds.): Philosophy of mathematics: Selected readings, Cambridge University Press, 2nd ed. 1983.
[2] 参见 G. Frege, The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Numbers, translated by J. L. Austin, Oxford: Blackwell, New York.
[3] 见D. Hilbert, On the infinite, 载于P. Benacerraf & H. Putnam (eds.): Philosophy of mathematics: Selected readings, Cambridge University Press, 2nd ed. 1983.
[4] 见 R. Carnap, Empiricism, semantics, and ontology, 载于P. Benacerraf & H. Putnam (eds.): Philosophy of mathematics: Selected readings, Cambridge University Press, 2nd ed. 1983.
[5] 参见 W. V. O. Quine, From a Logical Point of View, Harvard University Press, 1953, Ontological Relativity and Other Essays, Columbia University Press, 1969.
[6] 见 K. Gödel, What is Cantor’s continuum problem?, 载于P. Benacerraf & H. Putnam (eds.): Philosophy of mathematics: Selected readings, Cambridge University Press, 2nd ed. 1983, "Is Mathematics Syntax of Language?", 载于 Kurt Gödel, Collected Works, Vol. 3. Oxford, UK: Oxford University Press.
[7] 不完全性定理有一些技术上的条件，比如所考虑的公理系统至少包含足够的算术真理，同时又是所谓可递归公理化的。这些技术性条件在正常情况下都是成立的，所以为了通俗起见，我们在以下的叙述中将它们略去了。读者可以参考数理逻辑方面的教科书，如Herbert Enderton, A mathematical introduction to logic。
[8] 见Crispin Wright, Frege’s Conception of Numbers as Objects, Aberdeen University Press/Humanities Press, 1983, 与 Is Hume’s Principle Analytic?, 载于 Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 41, no. 1, 1999.
[9] 见Steven Yablo,: ‘Abstract Objects: A Case Study’, Noûs 220-240(36), 2002.
[10] 见 Hartry Field, Science without Numbers, Princeton University Press, Princeton, 1980， ‘Which Undecidable Mathematical Sentences Have Determinate Truth Values?’, 载于 H. G. Dales and G. Oliveri (ed.), Truth in Mathematics, Oxford University Press，1998。
[11] 见 Penelope Maddy, ‘Mathematical Existence’, http://www.lps.uci.edu/home/fac-staff/faculty/maddy/ME%20-%20new.pdf, 2002
本文曾发表在《科学文化评论》2005年第4期，经作者授权发表。
