Back To 2049 2018-07-12
九九归一与完美无缺00:0012:43
【数学之美之神奇的数】
九九归一与完美无缺
知识就是力量，欢迎回到2049.
数字王国无穷无尽，而这其中更有一些数有着非凡的神奇之处。罗素曾经说：数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美，一种如雕塑般冷峻而朴素的美，一种屹立不摇的美。极其纯净，能够臻于一种不可撼动的极致，就如同只有最伟大的艺术才能呈现的那样。
罗素的这段话虽然看不太懂，但归纳中心思想，无非就是“数学真TM美”的意思，美到不知道高到哪里去了。所以我打算在罗素的指引下，也为大家寻找一些数学上的美与神奇，“数学之美”这一系列节目就由此诞生，不过大家放心，与星座系列不一样的是，这个系列节目将会不定期推送，不会连起来让大家感到乏味枯燥，而之所以不定期推送，其深层次原因还在因为我现在所想到的就够一期节目的体量，现在是短了就满足不了大家了，我也感到很捉急啊。
所以数学之美，我们先从两个神奇的数开始。说“两个数”其实不准确，第一个确实是一个数，第二个则是一类数。好了废话不多说了，正八经儿整吧。
第一个数是九九归一的1，这是一个压抑不住的数，通过某种运算，我们总能得到它。具体是这样的，首先大家在心里选择任何一个数，特此忠告，这个数最好别选太大，否则你今天就不用干别的了。选中之后，你要遵守这样的基本法，如果你选的这个数是奇数，那么就乘以3再加上1，如果是偶数，那么就除以2。你所得到的结果，同样要按照这一个基本法来。我相信，无论你选择的数是几，那么在不断重复这个过程之后，你最后得到的结果一定是1。
比如说我现在选择12这个数。12是偶数，所以12÷2=6，6也是偶数，所以再除以2，6÷2=3，3是奇数，接下来就要换第一条基本法了，3×3+1=10。10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。完成任务。
人们相信，无论我们从哪个数开始，最终都会到达1。你可能不相信，但是你换个数试一试确实如此，比如说17，那么会需要12步来得到1。而如果从43开始，则会需要29步。可以说，这是非同寻常的。
那么这个定律真的对一切数都成立吗？可惜的是，这个问题看似简单，但从1930年以来，数学家们就一直关切并研究着这个问题，而且时至今日，仍然没有人找到任何解答。尽管有人为证明这个猜想提供了数额不菲的种种金钱奖励，但至今没有一个大脑可以解开谜题。在数学中，这个问题被称为“3n+1”问题，现在人们利用计算机已经证明，对于一直到10的18次方-1的所有数，这个定律都成立。
而且我们还会发现，无论怎样，我们对会止步于最后那个4-2-1的循环。而如果你试图在得到1之后继续进行下去，那么也一样，因为3×1+1还是等于4，最后的结果还是1。
今天要说的第二个数是“完满数”。在数学中，是否存在着某件事物比其他事物更加完满呢？答案是存在的，因为不存在就没法讲了。根据传统数论，存在着一个被称为“完满数”的群体，它被定义为所有真因子恰好等于其本身的数，所谓的“真因子”指的就是除了这个数本身之外的所有因子。最小的完满数是6，因为6=1+2+3，而1,2,3正是6的所有真因子。下一个比较大的完满数是28，28=1+2+4+7+14。再下一个是496，496=1+2+4+8+16+31+62+124+248。
对于前四个完满数，古希腊人表示他们早就知道了。比496大的是8128。而提出一条定理来概括如何找到一个完满数的数学家是欧几里得，欧几里得发现，如果2的k次方-1是一个素数，那么2的k次方-1再乘以2的k-1次方就是一个完满数。也就是说，每当我们找到一个k的值，使得2的k次方-1的计算结果是一个素数，那么我们就可以构造出一个完美数。也就是说，每当我们找到一个梅森素数的时候，其实就找到了一个完满数。
完满数公式
利用欧几里得的这种产生完满数的方法，我们可以得到这样一个完满数的列表，那就是当k=2,3,5,7,13,17,19时，分别得到完满数6,28,496,8128,3355 0336,85 8986 9056以及1374 3869 1328。
通过观察，我们会发现完满数的一些特性。它们似乎都是偶数，而且都以6或者是28来结尾。这些完满数似乎还都是三角形数，也就是连续自然数之和，比如说6=1+2+3，28=1+2+3+...+7，496+1+2+3+...+31。更进一步的，我们还会发现，在6之后的每个完满数都是奇数数列的立方和，也就是1的立方+3的立方+5的立方+7的立方+9的立方+11的立方+...。比如说28=1的立方+3的立方，而496=1的立方+3的立方+5的立方+7的立方。
那么欧几里得给出的寻找完满数的公式是不是正确的呢？同样很遗憾，目前还无法得到证明，于是数学家又开始用老办法，用计算机嗷嗷算来进行验证，试图找出反例。另外，算到现在我们还不知道是否存在奇数完满数。
好了时间还有，为了防止你说我太水，我们再来个加餐，这是一类非常友好的数，这就是“亲和数”。说这个亲和数友好并不是说我们看起来对我们友好，那要是对数学头疼的朋友的话，估计没一个数是友好的。在数学中，数学家认定，如果第一个数的真因子之和等于第二个数，并且第二个数的真因子之和也等于第一个数的话，那么这两个数我们就说是“亲和数”，可见，亲和数并不是一个数，而是一对数。
第一对亲和数由毕达哥拉斯发现，这对数是220与284。220的真因子为1,2,4,5,10,11,20,22,44,55和110。它们的和是284。而284的真因子为1,2,4,71和142，它们的和为220。第二对亲和数由费马发现，这哥俩是17296和18416。17296的真因子为1,2,4,8,16,23,46,47,92,94,184,188,368,376,752,1081,2162,4324和8648，这些数的和为18416。而18416的真因子为1,2,4,8,16,1151,2302,4604,9208，这些数的和为17296。
还有几对亲和数，比如1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368，10744和10856等等等等。
那么寻找亲和数有没有什么公式呢？答案是有的，大约公元850年，阿拉伯数学家塔别脱-本-科拉就发现了亲和数公式，后来这称为“塔别脱-本-科拉法则”。这个法则表述起来比较费劲。设a=3×2的n次方-1，b=3×2的n-1次方-1，c=3的平方×2的2n-1次方-1。其中，n是一个大于等于2的整数，如果a,b,c都是素数，那么2的n次方乘以ab和2的n次方乘以c这对数，就是亲和数。
亲和数公式
可见即便有这样的公式，找到亲和数也是十分费劲的，因为要找到一个n使得a,b,c都是素数，这是十分不容易。关于这一点还不得不提身经百战的欧拉，1750年，欧拉以其超凡的数学思维，一口气抛出了60对亲和数，轰动了整个数学界。
目前，人们已找到了1200多万对亲和数。但亲和数是否有无穷多对，亲和数的两个数是否都是或同是偶数，或同是奇数，有没有一奇一偶的情况，以及是否存在互素的亲和数，这些问题还有待数学家的继续探索。
要问我今天所说的这些有什么意义，我也不知道，我也不是数学家，我也不是科普工作者，所以就想看美女单纯觉得好看，而并不会不想这姐姐是怎么进化的一样，我就是单纯觉得这些数很有意思，仅此而已。如果您想听高大上的科普节目，抱歉2049也许不是您的正确选择。我们就是一档以胡编乱造的科学话题为主，兼具其他话题的低俗化瞎扯淡的娱乐节目，以供您在路上、睡觉前和拉屎时消遣用的。如果能再增加一点您茶余饭后的谈资，以及撩妹时的话题，那么想必是极好的，谈不上功德无量，更谈不上学什么东西，就像看这些数一样，您觉得挺好玩，能打发打发时间，我们的目的就达到了。
好了总结一下今天的，就和很多还处于猜想中的假说一样，并不是数学中我们所知道或者认为正确的一切都得到了证明，不过在最终证明之前，这并不妨碍我们去接受它们。同样的，我们也要清楚的是，也许有一天，会有人发现一个反例使得这样的命题不再成立，即便是在我们接受了它以后。
嗯，再补一种友好的数对，也很有意思，6205等于38的平方加69的平方，而3869则等于62的平方加05的平方，类似的5965等于77的平方加06的平方，7706则等于59的平方加65的平方。有没有什么规律或者公式，数学家都没找到，我就更不知道了。
好了今天的节目就到此为止了，最后做个预告，明天周五的长篇节目将把我们最近一系列长篇节目的大招推向顶峰，这也是2049开播2年多，900多期节目以来，史无前例的鸿篇巨制，明天见。
