人教版数学九年级上册第二十三章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列A，B，C，D四幅图案中，能通过将图案(1)顺时针旋转180°得到的是( )
2．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3．正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( )
A．30° B．60° C．120° D．180°
4．如图，△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置，已知∠AOB＝40°，则∠AOD等于( )
A．55° B．45° C．40° D．35°
5．如图，△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置，下列说法中不正确的是( )
A．线段AB与线段CD互相垂直 B．线段AC与线段CE互相垂直
C．点A与点E是两个三角形的对应点 D．线段BC与线段DE互相垂直
6．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( )
A.
B．2
C．3
D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( )
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度
9．如图，直线y＝x＋与y轴交于点P，将它绕着点P旋转90°所得的直线对应的函数解析式为( )
A．y＝x＋ B．y＝－x＋ C．y＝x＋ D．y＝－x＋
10．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点，现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是( )
A．(，1) B．(1，－) C．(2，－2) D．(2，－2)
二、填空题(每题3分，共30分)
11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：__________________．
12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD.若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是________．
13．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－n)与点Q(－2，3)关于原点对称，则点M(m，n)在第________象限．
14．如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°.若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm.若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B′处，则BB′＝________cm.
16．已知点P(3，1－b)关于原点的对称点Q的坐标是(a，－1)，则ab的值是________．
17．如图，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称．如果抛物线C1的解析式为y＝(x＋2)2－1，那么抛物线C2的解析式为____________________．
18．如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是____________．
19．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为________．
20．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕着B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……若点A，B(0，2)，则点B2 022的坐标为________．
三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，25，26题每题12分，共60分)
21．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点A，B，C的对应点．
22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.
(1)试在图中作出△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的△AB1C1；
(2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并写出A，C两点的坐标；
(3)根据(2)中的直角坐标系作出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出B2，C2两点的坐标．
23．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离；
(2)求∠APB的度数．
24．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D；
(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)
(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
26．已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P不与点A重合)，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E.
(1)如图①，猜想∠QEP＝________°；
(2)如图②和图③，若当∠DAC是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并选取一种情况加以证明；
(3)如图③，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．
答案
一、1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B
7．A 8．A 9．B 10．B
二、11．平行四边形(答案不唯一)
12．60°
13．一 14.20° 15.4
16．1 17．y＝－(x－2)2＋1
18．(5，2)或(－1，－2)
19．1－ 20．(6 066，2)
三、21．解：(1)它的旋转中心为点A.
(2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度．(答案不唯一)
(3)点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.
22．解：(1)△AB1C1如图所示．
(2)直角坐标系如图所示，点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，1)．
(3)△A2B2C2如图所示，点B2的坐标为(3，－5)，点C2的坐标为(3，－1)．
23．解：(1)连接PP′.由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°.
∴△P′AP是等边三角形．
∴PP′＝PA＝6.
(2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，PP′＝6，
∴P′B2＝P′P2＋PB2.
∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°.
由(1)知△P′AP是等边三角形，
∴∠APP′＝60°.
∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°.
24．(1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C，
∠A1BD＝∠CBF.
在△BCF与△BA1D中，
∴△BCF≌△BA1D.
(2)解：四边形A1BCE是菱形．理由：由题意知，∠A1BD＝α.∵∠A1＝∠A，∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A1＝α.∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α.∴∠A1BC＝∠A1EC.又∵∠A1＝∠C，∴四边形A1BCE是平行四边形．又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．
25．解：(1)∠ABD＝30°－α.
(2)△ABE为等边三角形．证明如下：连接AD，CD，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD为等边三角形．∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠EBC＝∠ABD＝30°－α.又∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－－150°＝α.∴∠BAD＝∠BEC.又BC＝BD，
∴△EBC≌△ABD(AAS)．∴AB＝BE.
又∵∠ABE＝60°，∴△ABE为等边三角形．
(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°，∴△DCE为等腰直角三角形，∴CE＝DC＝BC.∴∠EBC＝∠BEC.∵
∠BCE＝150°，∴∠EBC＝＝15°.∴30°－α＝15°.∴α＝30°.
26．解：(1)60
点拨：如图①，连接PQ.设QE与PC交于点M.
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴PC＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∴∠PCQ＝∠ACB，
∴∠PCQ－∠PCB＝∠ACB－∠PCB，即∠BCQ＝∠ACP.
在△CQB和△CPA中，
∴△CQB≌△CPA，
∴∠CQB＝∠CPA.
又∵在△PEM和△CQM中，
∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°.
(2)∠QEP＝60°.
以∠DAC是锐角为例进行证明．
证明如下：如图②，易知CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ.
在△CQB和△CPA中，
∴△CQB≌△CPA，∴∠Q＝∠CPA.
∵∠1＝∠2，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°.
(3)如图③，过点C作CH⊥AD交射线AD的反向延长线于点H，
易证△CQB≌△CPA，
∴BQ＝AP.
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠CAH＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH＝AC＝×4＝2.
∵∠CPH＝30°，∴CP＝2CH＝4.
由勾股定理可得，PH＝＝＝2，
∴PA＝PH－AH＝2－2，
∴BQ＝2－2.
