高中数学,奇函数、偶函数只是 点对称和线对称的特殊情形,是最基础且必须掌握的;但是考试试题中,经常遇到的是关于任意点对称或任意直线对称,甚至双对称的情况也比比皆是,这就需要我们更深入的学习,有备无患!下面我们就来一一推导一般情形下的点对称、线对称和双对称公式。
高中数学课堂
一、函数关于某点对称(单对称)
牢记:f(x)关于点(a,b)对称,则有y=f(x)=2b-f(2a-x)或者f(a+x)=2b-f(a-x)
(特别的,奇函数关于原点(0,0)对称)
证明:∵f(x)上关于点(a,b)对称
设P(x0,y0)为函数f(x)上任意一点,即y0 = f(x0)
关于点(a,b)对称的点为Q(x,y)
则有x0+x=2a,y0+y=2b
亦即 x0=2a-x,y0=2b-y
∴有2b-y=f(2a-x),
∴f(x)关于点(a,b)对称的表达式是y=f(x)=2b-f(2a-x),
也可表示为f(a+x)=2b-f(a-x)。
例1、已知函数y=f(x)的定义域是
,函数g(x)=f(x+5)+f(1-x),若g(x)=0方程有且仅有7个不同的实数解,则这7个实数解之和为_________.
解:∵g(x)=f(x+5)+f(1-x),令t=2+x,
∴g(t)=f(3+t)+f(3-t)=0
∴f(3+t)=-f(3-t)关于点(3,0)对称,
又方程g(x)=0有且仅有7个不同的实数解,
∴方程有一个根为3,其余六个根关于(3,0)对称。
∴这个实数解之和为3+3×6=21
二、函数关于某一条直线对称(单对称)
牢记:f(x)关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x).
(特别的,偶函数关于x=0对称)
证明:因为f(x)关于直线x=a对称,
设 (m,n)为f(x)上任一点,即n=f(m)
则(m,n)关于x=a的对称点(2a-m,n)也在y=f(x)上,
即 n=f(2a-m)
∴ f(m)=f(2a-m)
∴f(x)=f(2a-x).
三、双对称情形
3.1、牢记:函数f(x)关于某点(a,m)成中心对称,关于直线x=b成轴对称,那么f(x)是周期函数,周期是4|a-b|
证明:∵f(x)关于某点(a,m)成中心对称,关于直线x=b成轴对称
∴f(x)+f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②,
用2b-x代替x,代入①得
f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2m,再代入②得
f(x)=2m-f(2a-2b+x),用2(a-b)+x代替x,得
f[2(a-b)+x)]=2m- f[4(a-b)+x)],代入f(x)=2m-f(2a-2b+x)得
f(x)=f[4(a-b)+x)]
∴f(x)是周期函数,周期是4|a-b|
例4、已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),若x∈[0,1]时,f(x)=(x-1),则f(2018)=( )
解:方法一、由题意,f(x)是定义域为R的偶函数
∴f(1-x)=-f(1+x)=f(x-1),
令t=x-1,则x=t+1代入得
则f(t)=-f(t+2)
∴f(t+2)=-f(t+4)
∴f(t)=f(t+4),即T=4,
∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.
方法二、利用点线双对称结论
∵f(1-x)=-f(1+x)
∴函数关于(1,0)对称
又f(x)是定义域为R的偶函数
f(x)是周期函数,且周期为T=4
∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.
3.2、牢记:函数有两个对称轴(证明略)
f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|
3.3、牢记:函数有两个对称中心
有f(X)的2个对称中心(a,k)(b,k)则T=2|a-b|
证明:∵f(x)关于某点(a,k)(b,k)成中心对称
∴f(x)+f(2a-x)=2k①, f(x)+f(2b-x)=2k②,
用2b-x代替x,代入①得
f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2k,再代入f(2b-x)=2k-f(x)得
2k-f(x)+f(2a-2b+x)=2k
解得:f(x)=f(2a-2b+x)
∴f(x)为周期函数,且周期为T=2|a-b|