1954年，杨振宁和米尔斯合作发表规范场论的文章，为20世纪后半叶理论物理学的发展开启了又一个辉煌时代。这一理论延续了物理学四百年来追求的统一思想，从麦克斯韦电磁理论出发，通过对称性及其所决定的相互作用得出了“力”的规范理论；二三十年后，万物理论统一的拼图上拥有了弱电统一模型、量子色动力学，乃至集大成者标准模型，即使后者还不是个自洽的理论。本文介绍了杨-米尔斯方程的思想来源与发展，杨振宁与米尔斯是如何思考的，他们超越时代的思想带来物理学的进步值得回味。
本文经授权转载自《天地有大美：现代科学之伟大方程》（上海科技教育出版社，2020），标题为编辑所加，内容有删减。点击文末“ 阅读原文 ”可购买此书。点击“在看”并发表您的感想至留言区，截至2022年3月20日中午12点，我们会选出2条留言，各赠书一本。
撰文丨克里斯蒂娜·萨顿（Christine Sutton）
翻译丨涂泓 吴俊
校译丨冯承天
“杨振宁和米尔斯可能走在了他们时代的前面，因为直到约20年后，他们对一个基本原理的信念才结出了硕果，但他们仍还属于他们的时代。”
纽约的夏天闷热潮湿，如同无聊的影片。1953 年，斯大林（Stalin）去世了，伊丽莎白二世（Elizabeth Ⅱ）成为英国新加冕的女王，一个年轻的议员肯尼迪（John Fitzgerald Kennedy）即将迎娶布维尔（Jacqueline Lee Bouvier）。此时，两个年轻人因共用长岛的布鲁克黑文实验室的一间办公室而相遇了。就像罕见的行星列阵那样，他们短暂地通过了时空的同一区域。这一时空上的巧合诞生了一个方程，这个方程可构成物理学圣杯——“万物之理”（theory of everything）——的基础。
米尔斯（Robert Lawrence Mills）和杨振宁出生得天差地远，但对理论物理却拥有同样的热情。1953年9月，从中国来到美国的杨振宁31岁，起先在芝加哥大学获得博士学位，然后加盟了在新泽西州的普林斯顿高等研究院。米尔斯当时26岁，是布鲁克黑文实验室新的副研究员，曾在哥伦比亚大学和剑桥大学学习。1953年暑期，杨振宁来布鲁克黑文实验室访问，当时他和米尔斯共用一个办公室。他们的研究方向很快分道扬镳，但是杨-米尔斯方程使他们的名字在短暂的相遇后紧密地相连在了一起。
回到20世纪50年代，杨-米尔斯方程似乎是一个有趣的创意的结果，而它和现实却几乎没有什么瓜葛。不过，在20世纪末，它的时代到来了。它构成了获1979年和1999年两项诺贝尔物理学奖成果的基础，而且在数学方面也有很重要的意义，被克雷数学学院称为七大“千年得奖问题”之一。谁严格地解决这一问题，他就能得到1000000美元的奖励。
为什么大家都对杨-米尔斯方程感兴趣？是什么使得杨-米尔斯方程如此重要？到底什么是杨-米尔斯方程？要开始回答这些问题，我们首先要了解一下物理学家解释每天我们周围世界的现象时所用的那些根本性的概念。
对称的重要性
在用基本的基元构造宇宙时起作用的力中，最为人们所熟悉的力是引力，它在300年前就已在牛顿的数学掌握之中了。其次的便是电磁力，即构成电学和磁学许多方面（从闪电和磁石的自然现象到现代神奇的电视机和收音机）基础的那个力。还有两种力，分别称为弱力和强力。虽然在构成宇宙现存的那些物质中，它们同样是有作用的，但人们对它们并不那么熟悉。弱力和强力在原子核（它们位于每一种物质的每一个原子的中心部位）中起着作用。
原子核的这种存在形式乍看上去是自相矛盾的，因为带着相同电性的质子会相互排斥。我们在学校就学过“同性相斥”的道理；原子核内的电场力会完全使它分裂。因为在我们周围的稳定物质中显然并没有发生这种情况，那就一定存在着比电场力更大的力。而这种力只能在原子核大小的范围内起作用，否则相邻的原子会越来越接近，物质就会比现在看到的更稠密。人们把这种在原子核内连接质子和中子的力称为强力。但这种力起源于什么？在所有的力中，电磁力是最为物理学家所熟悉的了，那么强力是否能同样地被了解呢？正是这个挑战，激发了杨-米尔斯方程的诞生。
19世纪60年代，英国物理学家麦克斯韦成功地把当时关于电学和磁学的所有知识综合成一套既自洽又优美的简洁方程组。麦克斯韦方程组，就像牛顿的运动方程一样，现在仍然在应用。它们给出了计算由电荷或磁场产生的电场以及由电流产生的磁场的方法。这个方程还体现了电磁学里的一个重要特点：电荷守恒。
电子和正电子通常在同一个地方产生，这一点有着重要的含义。电荷守恒还不仅仅是关于一个大系统的“全局”陈述：“这里”产生了正电荷， “那里”就会突然冒出负电荷来达到平衡。它还是涉及时空中从一个位置到另一个位置、从一个瞬间到另一个瞬间的每个点的“局域”陈述。麦克斯韦方程组的一个优美之处就是它们保证了电荷的局域守恒性，而且它们是通过电磁力行为中的固有的对称性达到这一点的。
杨振宁在麦克斯韦去世近一个世纪后，为了解释粒子间的强力，他开始考虑是否可以从相反的方向来深入研究。是否可以从一个适当的守恒量出发，用对称性来发现强力的方程呢？
在数学中，我们说一样事物是对称的就是指它在进行某种操作后看上去同原来一样保持不变，就像正方形旋转90度或圆旋转任意角度后同原来一样。1918年，年轻的德国数学家诺特（Emmy Noether）发现了对称性和物理量守恒（如电荷守恒）之间有深刻的基本关系。她发现对每一个守恒量来说，都有一个与之相关的对称性，反之亦然。
既然电荷总是守恒的，那么诺特定理告诉我们在电磁力中应该有与之相关的对称性。事实上确实有，而这与某种称为“势”的东西有关。“势”是人们用来表征力场的一种方法，这里的场可以是电场、引力场或其他的力场。势给我们提供了一个更简洁的“速记”方法来描述场，这有点类似于二维的等高线地图比三维地形更简洁。等高线连接有相同海拔高度的点，等高线越集中的地方，表明该地方的地势越陡峭。二维的等高线地图包含了一个有经验的登山者所需要的所有信息。与此相似，比如说一些电荷的电势，包括在计算电场时物理学家所需的所有信息，因此也包括在计算这一系统中起着作用的电力时所需的所有信息。
如果我们把电势说成是与之相关的“电压”，那么我们中的大多数人就熟悉它了。小鸟在高压线上可以和在树枝上一样快乐地歌唱。这是因为产生电力的电场取决于电压差或者说是电势差。如果我们的整个地球在电势上升高1000伏，我们的发电厂和电器设备仍然可以运转如常。要紧的是“火线”和“地线”（“地球”）之间的电压差值，而不是它们的绝对值。这种“不变性”是全局对称性的例子：在时空的每一点增加（或减少）相同的势时，电场是不变的。与此相似，麦克斯韦方程组也不随电势的全局改变而变化，因此这些方程主要是应对场的问题而不是势的问题。
然而，麦克斯韦的方程组还包括了要求更严的局域不变性或对称性。电势在时空的不同点可以改变不同的量，而麦克斯韦的方程组仍旧不变。这就是局域不变性，这一不变性的产生，是因为电荷既构成电场的基础，也构成磁场的基础。结果是电势的局域变化还会引起另一种势的局域变化，这一势称为磁势。两种势的最终变化保证了由麦克斯韦方程组所描述的电场和磁场保持不变，即使当势的变化是局域的也是如此。麦克斯韦方程组中包含了局域对称性，而似乎正是这种对称性才与电荷的守恒有关。
粒子和波
似乎距离了解粒子间的强力还很遥远，但这里有一个美妙之处值得注意：我们通过能展示隐藏着的对称性原理的一组方程，来描述力——这里指的是电磁力。事实上，它增加了下述可能性：我们看到的物理过程——换言之，我们观察到的在电和磁之间的相互联系——是由局域对称性产生的。这就把我们带回到杨振宁和米尔斯那里，他们希望知道能不能从局域不变性原理出发来推导出粒子间强力的方程式。
在麦克斯韦和米尔斯、杨振宁相隔的一个世纪里，随着量子力学的发展，物理学发生了一场重大的革命。当我们在处理非常小的系统的问题时，牛顿力学不能用了，我们必须使用量子力学。在原子尺度上，我们不可能确切地知道粒子的位置和粒子的运动速度。这是因为这一观测行动会干扰粒子的运动。我们能通过雷达系统探测汽车对无线电波的反射，来测量汽车通过某一点的速度。此时无线电波的能量很小，它对汽车的运动毫无影响。但要是把汽车换成分子，无线电波的能量将足以推开分子。量子力学论述的是不能同时知道位置和速度（严格地说是动量）这一基本问题。这是通过把粒子看成波，并通过在数学上用所谓的波函数描述粒子做到的。波函数与在一个特定的状态中找到粒子的概率有关。
就像电压可以升高或降低而它们之间的电场不被改变那样，波能以某种方式调整，而它的整体效应不被改变。我们改变的波的那部分属性称为波的相位。我们可以把它想象成它给出了波在其波动的波形中处于什么地方。当波上升或下降时，固定位置处的波的相位值就会发生变化。对整个波进行一个相位上的改变（即相移）仅仅只是将整个波形移动了，它不会改变波的一些重要特性，诸如振幅和波长。
同理，描述粒子的波函数也能通过一个固定的相移来变化，而这种相移并不会改变粒子的可观测行为。这里，我们又一次看到一个全局对称性起作用的例子。那么，是不是同麦克斯韦方程组一样，此时也有局域对称性呢？假设相移是局域性变化，也即在时空的不同点作不同的变化。在这个局域相移之下，描述粒子的量子力学方程是否也能保持不变呢？
这个问题的直接回答是否定的，因此，似乎我们应该放弃这条思路，而不必为此时的局域对称性而困扰。然而，要是我们能尽力地修改粒子的方程，使其能不随局域相移而改变，那么我们就作出了一个重大的发现。只要粒子在某些力场的影响下发生运动，此时的方程就是不变的。这种情况与电势的局域改变和磁势的局域改变之间的联系有相似之处，只不过现在讲的是在一个粒子相位中的局域变化，它们与粒子在其中运动的场的局域改变有关。当我们意识到电磁场正好提供了对量子力学方程所需要的修正时——只要我们使对粒子的相移依赖于粒子的电荷即可，那么上述发现就不寻常了。看来，局域不变性的原理直接揭示了带电粒子电磁相互作用的本质。
德国数学家外尔（Hermann Weyl）是认识到粒子波函数的局域不变性和电磁理论深层联系的第一人。他把这种不变性称为“规范不变性”，因为一开始他想到的是关于尺度（或“规范”）的变化而不是相位的变化。他在1929年发表的经典论文中指出，“对我来说，规范不变性的这一新原理不是来自推测而是来自实验，它告诉我们电磁场是……物质波场……的一个必然的伴随现象。”
这样，外尔向前跨出了一大步：提出规范不变性——一个基本的对称性——可以作为推导电磁学理论的一个原理来用。这在电磁力的情况中是个好主意，但它并没有带来新的东西，因为通过麦克斯韦方程组大家早已知道和理解电磁力了。外尔的提议对诸如强力那样的一个力会具有更大的重要性，因为此时与麦克斯韦方程相应的那些方程仍是未知的。能不能从适当的对称性原理出发找到这些方程呢？在外尔发表论文的时候，人们还未正确地认识原子核的构成，而且强力的概念也还没有形成。外尔原理的新应用的时机尚未成熟。
一类新的对称性
20年以后，这些联系对称性和电磁力的深刻构想进入了一个年轻的中国物理学家的脑海。他是来芝加哥大学读研究生的。他叫杨振宁，是一个数学教授的儿子，1945年来到美国。杨振宁在中国时曾读过富兰克林（Benjamin Franklin）的自传，因此他就取了富兰克林这一英文名字——昵称弗兰克（Frank）——以表示对富兰克林的敬意。他最初在云南昆明的西南联大就读以及后来在芝加哥的时候，就透彻地研读了当时顶尖的理论物理学家之一泡利关于场论的一些评论文章。杨振宁写到他“对电荷守恒与电磁理论在相位变化下的不变性有关联的这一思想印象深刻……［并且］对规范不变量决定了所有电磁相互作用这一事实有更深刻的印象”。
杨振宁刚开始时并不知道这些构想来自外尔。当他俩同在普林斯顿高等研究院时，而且甚至偶然碰面时，他也并没有意识到这一点。外尔在1933年离开德国到普林斯顿高等研究院任职，于1939年成为美国公民，而1949年时杨振宁也在该研究所。外尔是在1955年逝世的，看来他很可能并不知道杨振宁和米尔斯所撰写的出色论文——这篇文章第一次阐述了规范不变性的对称性事实上是能确定基本力的行为的。
在芝加哥大学期间，杨振宁着手把这些构想运用到粒子的另一个特性之中，和电荷一样，在粒子的相互作用中这个性质也是守恒的。他志在寻找描述与这一特性的规范不变性相联系的那个场的方程，这种特性有一个相当容易搞错的名字叫“同位旋”。同位旋像一个品名标签，它标志出了除电荷不同以外，其他都显得同样的那些粒子。设想有一对双胞胎彼得（Peter）和保罗（Paul），除了其中一人穿了件外套以外，他俩打扮相同。脱下这件外套，他们就变得难以区分了，虽然他们仍有不同的名字。对于粒子也有同样的情况，如质子和中子，质子穿了件正电荷的“外套”，而中子“没穿外套”，也就是不带电。20世纪30年代，人们对原子核的研究揭示了：一旦不计不同电荷所造成的差异——一旦质子脱下虚构的电荷“外套”——那么中子和质子、中子和中子、质子和质子，都以相同的方式相互作用。换言之，粒子间的另一个力——强力——将不会发现上述3种情况之间的差异。质量非常接近的质子和中子，对强力来说显示为同一个粒子“核子”的两个状态；正像我们用名字来区别双胞胎那样，我们现在就用同位旋的数值来区分这些粒子了。这种情形类似于粒子处于称之为“自旋”的那一量子特性的各种不同状态之中，而描述粒子自旋状态的数学就能用来表述同位旋状态。
从数学上来说，你能“旋转”质子的同位旋使其变成一个中子，而此时作用于该粒子的强力效应不会改变。于是在力中有了一个对称性，正如诺特定理告诉我们的，某样东西必定是守恒的；而它就是同位旋。现在，我们已拥有拼成杨-米尔斯方程的所有片段了。
一种新的场
从1949年开始，杨振宁多次尝试把电磁力中的规范不变性过程运用到同位旋中去。但是据杨振宁所说，这些尝试总使他陷入“困境”，困于计算中的同一步骤，这种情况总发生在当他要定义相关的场强时。但他从来没有完全退缩过。正如他在他的《论文选集》中解释的，“这种在某些看来是美妙的思想中的反复失败，对所有的研究工作者来说都是家常便饭。大部分这种思想最终会被摒弃或被束之高阁。但一些人会坚持并开始着迷。有时一种迷恋最后确实会变成好事。”尤其当时人们在实验中发现了许多短寿命粒子，而关于它们之间相互作用的力，似乎有同样多的构想出现。对杨振宁来说，“写出［这些］相互作用的原理的必要性也就变得越来越明显了”。
1953年夏天，杨振宁在布鲁克黑文国家实验室时又一次思考这些问题，而此时和他在同一个办公室的年轻物理学家米尔斯也被这些问题迷住了。他们共同越过了杨振宁早期遇到的障碍，从而发现了与同位旋规范对称性相联系的那个场的方程。
如果我们忽略电磁作用，那么我们把什么粒子叫质子，什么粒子叫中子的选择就变得随意了——把所有的中子变成质子或反过来把所有的质子变成中子，核反应还是相同的。这就相当于在同位旋状态中作了一个全局改变——我们在时空中的所有点上以同样的量“旋转”了同位旋，以致使所有的质子变成中子，所有的中子变成质子。不过，杨振宁和米尔斯问道，如果我们在时空中的不同点进行不同的变化，那又会出现什么情况呢？正如他们在论文中所说的，假定两个同位旋状态之间的“旋转”是完全随意的，或“没有物理意义的”，这正像在带电粒子波函数中任意的相移，它能被电磁场的变化所补偿。那么是否有一个场，能类似地补偿同位旋的局域变化并保证核反应看上去总是相同的呢？就其本质而言，同位旋理论的证明要比电磁理论复杂得多。为了保持质子或中子在各处都有同样的本体，补偿的场一定要能校正同位旋中的局域变化或“旋转”。为此，该场本身也必须有同位旋的性质。与之相反，在电磁力中，粒子波函数的局域变化并不改变粒子的电荷。电磁场不改变电荷的这一事实就反映了这一点。电荷可以被定义为电磁场之源，但是电磁场本身却不是电荷之源。然而，在杨-米尔斯理论中，这个场却以一种听起来使人有过分亲密关系的感觉，它就是其自身之源。
杨-米尔斯方程就是这个场的运动方程。它相当于麦克斯韦方程组或牛顿运动方程，且能以相似的方式写下来。采用杨振宁和米尔斯当时使用的符号来表示，这个方程可写成：
这里f代表杨-米尔斯场的强度，∂/∂xν表示方程与场强随空间和时间变化的关系；ε 有“荷”的作用，而Jμ表示相关的流；bν是该场的势。（bν× fμν）这一项表示了与电磁情况最重要的差别，因为它带来杨-米尔斯场对自身的依赖性。在麦克斯韦电磁方程组中，相应的这一项等于零，因为此时的基本场之间彼此没有影响。
质量问题
杨振宁和米尔斯发现的新的场还有一个重大障碍，它是关于“场粒子”的。在杨振宁和米尔斯作研究用的理论框架——场的量子理论之中，场是由粒子来表现的。这些“场粒子”不仅是描述场的一种简便的数学方式，在某些情况下，它们还作为一些可测的实体，如同电子或质子一样真实，在场中出现。在电磁理论中，场粒子是光子，它们从电磁场里出现，以光的形式为我们所见。
在相互作用着的“物质粒子”（例如电子和质子）之间进行的一场“量子接球游戏”之中，场粒子起着球的作用。在电磁的情况中，带电粒子是通过投和接光子来玩“接球游戏”的。光子没有质量，因此这种相互作用可以发生在相距很远处，原则上讲是无限远（你可以想象把光子“球”扔到无限远）。相反，质子、中子间的强力作用范围却似乎限制在原子核的尺度里。这意味着，强力的“球”必定有一定的质量，以保证这种交换——这种相互作用——总是在有限的时间里发生的，也即有一个很短的距离。
杨振宁和米尔斯发现的新场在空间和时间中的每一点按要求校正同位旋，把质子变成中子，中子变质子或让它们保持原样。要做到这一切就需要3个传递粒子，它们是同位旋的3个状态。这个场也能改变电荷，例如从带正电的质子到不带电荷的中子。所以其中两个传递粒子必须带有正电荷和负电荷，而第三个保持中性并参与质子与质子或中子与中子的相互作用。因此杨振宁和米尔斯知道了新场粒子的电荷和同位旋，但他们对它们的质量却没有任何概念。他们认识到这是其理论中的一个薄弱环节。1954年2月，杨振宁在普林斯顿的一次研讨会上提出他的理论，他发现自己受到了泡利的抨击。杨振宁在黑板上刚写下他的新发现的场的表达式时，泡利就问：“这个场的质量是多少？”杨振宁解释说这是个复杂的问题，他和米尔斯还没有得到明确的结论后，泡利尖刻地指出“这作为理由是不充分的”。
虽然到了 1954 年 2月杨振宁和米尔斯已经完成了工作的绝大部分，但对是否发表一篇论文仍然犹豫不决。正如杨振宁所写的，“这个构想是优美的，它应该发表。但规范粒子的质量是什么？我们没有肯定的答案，只有一些令人沮丧的经历告诉我们［这个］问题比电磁力要令人困惑得多。我们根据物理学上的一些理由，往往会认为带电荷的规范粒子不会是无质量的”。杨振宁本人强调突出“优美”一词，看来优美战胜了疑惑。1954年6月底，他和米尔斯向著名期刊《物理学评论》投递了论文，这篇文章在三个月后的10月1日发表了。在文章的倒数第二段的结尾处，他们遗憾地指出他们“还没有能得出关于b量子之质量的任何结论”。这里的b量子，换言之就是他们新场的传递粒子。
电弱统一
对基本粒子和力的理解的不断进步，就像任何一门学科那样，是在构想和发现——理论和实验——的相互促进中实现的。就像乐器的二重奏，两者相互补充，有时是这一个主导，有时是另一个主导。有时一个乐器要试奏出一些断断续续的新曲段，而另一个却继续演奏原来的主旋律。再过一会儿，某一个曲段会变成主旋律。与之相似，物理学家用理论的思维和实验的研究来探索不同的道路。一些被证明是不会有结果的而且被遗忘了，而另一些会在晚一些的时候重新回来引导我们的认知。杨-米尔斯方法对我们认识强力的神秘作用起先可能没有提供什么洞见，但它如今却是我们理解各种粒子和力的基础。然而，只有经过理论上的进一步发展和实验的不断发现，我们才真正清楚杨-米尔斯方法和粒子间力的性质之间的关联有多大。
1979年10月，在杨-米尔斯论文发表25年以后，三个理论物理学家从斯德哥尔摩获悉他们被授予当年的诺贝尔物理学奖。格拉肖（Shel⁃don Glashow）、萨拉姆（Abdus Salam）和温伯格（Steven Weinberg）三人各自独立地在局域不变性原理的基础上建立了一个新的理论框架。他们之前的杨-米尔斯构想和外尔构想的时代到来了，但却是以一种相当意想不到的方式到来的。
新的理论把电磁力和弱力放在一起考虑，而不是考虑按杨振宁和米尔斯所遵循的思路那样可能得出的电磁力和强力。“电弱理论”还成功地解决了质量问题并且纳入了重场粒子。不仅如此，这个理论（在一些能被测量的量的少许帮助之下）甚至还预言了这些粒子的质量。
弱力是某些种类的放射性的基础。发生这种放射时，原子核所包含的中子变成质子，或反过来，这样原子核就“衰变”了。这些过程引起了真正的炼金术，因为它们改变了核中质子的数量，而这又依次改变了该原子核所属的原子的化学性质。碳能变成氮，铅能变成铋，等等。与此相似，在太阳和其他恒星的核心中，质子在核反应链中变成中子并释放出能量。所以虽然弱力在原子核里比强力小100 000倍，但是它对我们宇宙的性质，以及通过太阳对生命本身产生了非常直接而深远的影响。
就日常世界上的现象来说，电磁力和弱力竟然会在根本上紧密地相连在一起，这似乎使人惊讶不已。电和磁的长程作用是宏观的大尺度现象，诸如雷暴雨和北极光，而弱力的作用则是隐秘的，处于微观的亚原子尺度。我们获取的来自太阳的生命能源是以光子——电磁场粒子——的形式到来的，尽管这一能量是在太阳核心深处，在核的弱相互作用所引发的反应中释放出来的。格拉肖、萨拉姆、温伯格正是在这些看似无关的现象中发现了它们之间的联系，虽然这是一个他们最初都没有打算着手去作出的发现。
在英国，萨拉姆对用局域不变性来理解粒子间的弱力很感兴趣。弱力能改变粒子的电荷，例如把中子变成质子。因此，萨拉姆提出弱力可能来自像杨振宁和米尔斯所描绘的那样一个场，这个场有三种“场粒子”分别带正电荷、负电荷和零电荷。正场粒子和负场粒子可与改变电荷的弱相互作用很容易地联系起来，但中性场粒子却更成问题。一种自然的选择是把它和一种熟知的中性场粒子——电磁学中的光子——等同起来。这样，“电弱统一”的构想就开始在萨拉姆的脑海中形成了。
在美国，格拉肖在研究一个类似的课题，尽管出于不同的原因。他想要解决的问题是：现存的一些弱力理论总是会导致在计算中出现没有物理意义的无穷大量。他认为通过把电磁力和弱力纳入到一个理论中，计算中那个令人不知所措的无穷大问题就能得到解决。他选择把他的尝试建立在杨-米尔斯方法上，并且和萨拉姆一样，假设其中的中性粒子是电磁学中的光子。然而，格拉肖和萨拉姆各自很快地认识到有一个更好的理论，这个理论以不同的方式把电磁相互作用和弱相互作用的对称性并合起来。他们的结果是有两个中性场粒子的一个理论。这两个场粒子是电磁学中的光子和弱场中的一个不同的中性粒子。
这个理论刚开始有好几个问题，其中的一个就是质量问题，这个问题以前曾给杨振宁和米尔斯带来了许多困难。与强力相比，弱力的作用范围显得很小，这意味着在“量子接球游戏”中的弱“球”一定很重。在此电弱理论中，光子还是没有质量的，但弱场的正粒子、负粒子和中性粒子都有很大的质量。但是赋予场粒子以质量会破坏局域不变性，而若是这样，这种方法也就丧失了其存在的依据了。更使格拉肖灰心的是，无穷大问题仍然存在，而且关键是并没有实验表明存在着这个理论所要求的那个重的中性场粒子。
质量难题的解决来自于一个意想不到的地方——一个完全不同的物理学领域，它研究的是固体中原子的集体行为。关键在于下列概念：即使作为基础的方程是对称的，物理系统仍可以存在于一个缺乏对称的状态之中。例如，铁原子能表现得像小磁体。在一块普通的铁中，这些原子磁体指向是随机的，因此有对称性，因为没有一个方向比任意其他方向更占优势。但是铁能被磁化，此时原子磁体按磁场方向排列起来。原有的对称性似乎消失了，虽然描述原子运动的方程还保持它们原有的对称性。好几个理论物理学家，其中有爱丁堡大学的希格斯（Peter Higgs），意识到他们能运用这些观点使粒子获得质量。这只要在方程中引入另一个场——这个场现在叫希格斯场。
希格斯场是不寻常的，因为虽然与它相关的势是对称的，但在该场中的运动方程的解却是不对称的。实际上希格斯势就像酒瓶凹陷的瓶底——整体形状是对称的，但是在凹陷顶端瞬间平衡的一粒豌豆会向一个方向滚动，这样就打破了对称。描述粒子间相互作用的方程蕴含着这样的意思，即粒子就像凹陷顶端的那颗豌豆——在最初的理论中，它们没有质量，但当它们与希格斯场作用时，它们就打破了对称性并获得了质量。
美国的温伯格看到了在杨-米尔斯理论中运用对称破缺的构想来描述强相互作用的希望。一开始他并没有成功，因为他试图将他理论中质量巨大的和无质量的场粒子跟已知的强作用粒子等同起来。他在接受诺贝尔奖金时的演说中回忆，“1967年秋天的某一天，在驱车去麻省理工学院办公室的路上，我忽然想到我把正确的构想用到一个错误的问题上了。”他意识到他需要的无质量的粒子是光子，而质量巨大的粒子是弱场粒子。“于是弱相互作用与电磁相互作用就能以一种确切的，但是自发规范对称破缺的方式，来统一地加以描述了。”
4年后的1971年，理论最后润色完成了，这使得“温伯格-萨拉姆-［格拉肖］的青蛙变成了一位被魔法迷住的王子”——科尔曼（Sidney Coleman）的这一说法使人浮想联翩。在荷兰的乌德勒支，特霍夫特（Gerard "t Hooft）和韦尔特曼（Martin Veltman）一起工作，他们证明了在一个被称为“重正化”的过程中，该理论中出现的一些无穷大抵消掉了。现在格拉肖明白他早期的难题是如何解决的了。“在重正化性的研究中，”他写道，“我勤奋地工作但错过了机会。规范对称性是一个精确的对称性，但它是隐藏着的。我们不能用人为的办法把质量项加进去”（像他曾做的那样）。特霍夫特和韦尔特曼的工作使电弱统一的处理方式上升到一个极为可敬的理论，而在 1999 年，人们确认了他们使电弱“青蛙”在众多理论中变成了王子的工作，他俩被授予诺贝尔奖。1973年到1983年的这10年里，许多关键的要素齐备了。1973年，实验最初揭示了“弱中性流”。这些隐约存在的过去未观察到的反应，揭示了存在着弱力的重中性场粒子。1983 年，带电的和中性的弱场粒子在高能碰撞中被人为产生并被探测到了，而它们的质量与用电弱理论计算得出的结果一致。这是对杨-米尔斯基本观点一次激动人心的肯定。
“色力”
关于弱力和电磁力的所有这些进展，是在何处脱离了强力——那个杨振宁和米尔斯曾一直想要描述的力的？20 世纪 60 年代发生了重大的变化——也许可以把这10年看成是与一些陈旧观念决裂的10年——其中相当重要的是，我们对基本粒子实际上是什么这一认知改变了。人们发现质子、中子和大量的短命粒子是由更基本的粒子构成的，我们把它们称为夸克。例如说，每个中子和质子都由 3 个夸克构成，它们由强力结合起来。当时已经清楚的是，夸克的某些性质决定了强力。
理论物理学家开始认识到要使3个相同的夸克形成一个类似质子的粒子，这些夸克就必须带有一个新的、可予以识别的特性。为了满足量子理论的定则，这个特性必定要能区分出在此以外完全相同的夸克。类似于光的三原色，人们把这个能取3个值的特性称为“色”，而其可能值就用红、绿、蓝来表示。重要的是，人们逐渐搞清楚了不是同位旋而是色才是“强荷”——夸克之间的强相互作用之源。
值得注意的是，物理学家为色夸克构造起来的理论正是杨振宁和米尔斯早已探索的那一类型理论。但是，因为色有3个值，而不是杨振宁和米尔斯所考虑过的同位旋2个值，因此此时得出的场就更为复杂了。此时应有8个场粒子而不只是3个。这些场粒子称为胶子，而且像夸克那样，它们也必须是带色的，这样才能使得这个满足局域不变性的新场是一个杨-米尔斯场——它是自身之源。这个描述来自“色荷”的强场理论被称为量子色动力学（简称QCD），类似于我们论述电磁力的量子理论，即量子电动力学（简称QED）。结果表明QCD是一个非常成功的理论，那么它是如何解决对短程强力所预期的重场粒子的那个问题的呢？
其答案就在胶子之间所能发生的相互作用的复杂性之中——这一特性在具有不带电的光子的 QED 中是完全不会产生的。QCD 内的胶子相互作用使“强荷”——例如说一个红夸克——周围的力的有效强度在短距离内减少。这是一个惊人的发现，因为两百年来物理学家一直认为，当你靠近电荷时电荷的作用力会增加。但是，这个新效应似乎能解释20世纪70年代早期做出的一些似非而是的实验观察结果，这些实验是用高能电子去探测质子和中子。这些实验发现，当电子探测到更小的距离时，它们开始与原子核里的夸克相互作用，仿佛它们是完全自由的，或者说在更大的实体中根本没有受到束缚。（译者注：举例来说，电子对质子的“深度”非弹性散射的实验结果是：质子是由3个几乎自由的点状带电粒子，即夸克构成的。）这一结果与强力随着距离的缩短而变弱的观点是吻合的。
那么距离增加后会发生什么呢？强力似乎会变得更强。这个结论似乎提示单一的夸克不能像电子能被撞出原子一样从质子或中子中弹出，当然，从来没有证据表明能观察到单一的夸克。因此，强力的作用范围似乎是很小的：夸克被幽禁在那些粒子的范围内。由此推出，为了解释强力的短程性，就毫无必要要求胶子是很重的。QCD中的胶子仍是无质量的，因此对该理论的局域对称性来说也就不会有任何问题。
作者简介 斯蒂娜·萨顿（Christine Sutton），粒子物理学家，曾在牛津大学粒子物理研究组工作， 2003—2015年担任《欧洲原子核研究中心快报》（CERN Courier）主编，拥有丰富的科学写作经验，著有《粒子奥德赛》（The article Odyssey）等。
