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函数的本质是什么?

为了解释函数的本质是什么?有必要知道函数的发展史,通过了解函数的发展历程,我们可以从表面本质彻底的认识函数!

第一个历程,几何观念下的函数1.伽利略是最早透露出函数概念的,只不过当时用的不是函数这个名词,他指出:用文字和比例的语言表达两个量的关系。仅此而已。

2.随后解析几何出现,直角坐标系的发明者笛卡尔在解析几何中注意到:“两个变量之间的关系也一个变量,总是依靠另一个变量而存在”。很遗憾的是,当时大部分函数都被当做曲线来研究,并没有意识到需要提炼出函数这一概念!

3.时间到了1673年,莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”,后来陆续用function表示曲线上点的坐标或者与曲线有关的量,这个时候“function”的词义应该不被翻译成函数,应该翻译成“功能”(个人观点),但是无论如何,1673年是数学历史上第一次见到“function”一词,是历史性的突破!直到现在,依然都是使用它!

第二个历程,代数观念下的函数1.1718年,伯努力在莱布尼茨的基础上,对函数再次进行了定义:“强调函数需要用公式来表示”,到这儿可以看出比较接近我们现代函数了。

2.1756年,伟大数学家欧拉给出定义,一个变量的函数是由这个变量和一些数(即常数),以任何方式组成的解析表达式。可以看出这个概念中解析式对于函数的重要意义被体现出来,比伯努利的定义更普遍,更具有广泛意义。

第三个历程,对应关系下的函数不要着急,很接近本质了!

1.1821年,柯西指出一个函数需要有两个变量,一个是自变量,一个是因变量。此时此刻,函数模型非常类似我们初中学的函数概念!

对于柯西这个大佬不用过多介绍,高中生只是知道一个“柯西不等式”,高考还不一定用的上,但是到了大学,柯西才正式登上舞台,会被虐的体无完肤!你有类似的经历么?反正我当年对他是又爱又恨!

2.1837年,狄利克雷(Dirichlet)指出:对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个确定的值,那么y叫做x的函数,自此诞生了函数的经典定义。

3.康托尔建立了集合论,美国数学家维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数的概念,同时,打破了变量是数的局限性,变量可以是数,也可以是其他对象。

第四个历程,集合论下的函数1930年,新的代现代函数定义为:

若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变量,y称为因变量。现代函数的本质,重点强调“映射”“法则”“对应”“变换”。哪个词都可以,有了这个概念,不仅可以做简单的函数对应,也可以做复合函数的对应。

简单函数:x对应y

复合函数:x对应y,y对应z,如下图,就构成了复合函数!

中文的“函数”函数这个词本身是舶来品,“function”这个词在英文中就是功能的意思,那么是谁把它翻译成函数的呢?

答案是清代的数学家李善兰。是他首次将“function”译为“函数”

看完了函数的发展历程,可以看出函数的发展是不断得到严谨化,精确化的过程,逐渐地通过表面现象抽离出函数的本质,这与我们学习函数的过程是一样的!从初中那种单纯的自变量,因变量的关系,到高中在对应法则下,用映射定义出的函数!在到大学多元,多对应的复变函数等等!

以上是我的回答,欢迎大家讨论,发表自己观点。

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