从导数和极限的定义出发，我将证明你们在本科微积分中会学到的一阶导数规则。
如果你想从头开始做一个苹果派，你必须先发明宇宙——卡尔-萨根
大多数学生看到的微积分中的幂函数求导公式（Power Rule，下称幂法则），通常没有证明或只有部分证明。事实情况是，学生从一个完整的证明中会学到更多的东西。即使你觉得这些教科书中给出的证明已经足够，再多一个证明也无妨。在这个证明中，我不仅将证明幂法则，还有：
证明积法则
介绍归纳法的证明
证明链式法则
介绍一点实分析
证明使用的要素 在这个证明中，我将只使用下面的“工具”：
极限的定义
导数的定义
任何你在标准代数课程中学的东西
包括指数法则和各种代数结构（整数、有理数和实数）的属性
这些限制将使我无法使用
对数的导数
指数函数的导数
或二项式定理
我见过的大多数证明都至少使用了其中之一。 证明的结构 我的证明将有以下结构：
证明积规则
证明n是整数的情况下，使用积规则和一些归纳法
证明链式法则
用链式法则证明n是有理数的情况
证明n是一个无理数的情况，从而证明所有实数的幂法则
积法则（The Product Rule） 我们知道，x^4= x · x^3。如果我们知道如何求x和x^3的导数，以及两个函数的乘积的导数，我们就可以求x⁴的导数。出于这个原因，我们将证明积法则。 我们要从导数的定义来证明积法则。首先，定义一个函数z(x)=f(x)g(x)。然后，z相对于x的导数。由于我们谈论的是任意函数，我们必须使用导数的定义。 可能没有什么能让你眼前一亮，在这种情况下，我们要寻找一些方法，以不同的形式重写表达式。既然表达式中有一个f(x+h)和一个g(x+h)，我们就应该设法把f(x+h)-f(x)或g(x+h)-g(x)带入表达式中。这样我们就可以用导数来代替它们。在这种情况下，我们可以使用一个经典的技巧，即添加一个0。例如，我们可以把f(x+h)-f(x+h)加到分子中，这样就不会有任何变化。我们要把( f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x))加到分子上，这时我们可以做代数： 为了让证明更容易，我将分别处理每个极限，然后把它们放回一起。第一个极限是： 第二个极限是： 因此，我们已经证明了积法则，如下图所示： 证明n是整数的情况 有三种情况：
n = 0
n > 0
n < 0
如果我们证明每一种情况，我们就完成了这一部分。 证明n=0的情况 这就完成了证明。 证明n>0的情况 如果我们使用导数的极限定义对x、x²、x³……求导，你可能会看到这些导数遵循一个简单的规律：幂法则。证明n=0和n=1的情况是很简单的，因此，我们可能想尝试用归纳法证明。 归纳法的证明 要用归纳法证明什么，需要：
证明一个基本情况（个例）
并证明每个情况都能证明下一个情况（弱归纳法）或证明所有已证明的情况都能证明下一个情况（强归纳法）。
强归纳法和弱归纳法是等价的，但我不能在这篇文章中讨论这些细节。对于这个证明，我们要使用弱归纳法。在给你们展示了这个证明之后，我会试着给你们一个直观的感觉，为什么它是可行的。在此过程中，我将稍稍打破传统。通常，弱归纳证明指的是步骤2中的情况n和n + 1，但我将使用n - 1和n。用n + 1替换n会将表达式转换回传统形式。 基本情况 本节将很快，因为它只是代数。 归纳步骤 在证明的这一部分，我们将证明，如果幂法则在n=m-1的情况下成立，那么m的情况也成立。这一部分我选择用m而不是n，因为我已经用n表示x的幂。如果幂法则在n=m-1时不成立，那么n=m的情况是否成立就不重要了，所以我们将假设幂法则在n=m-1时成立。 归纳法的直观解释 如果你不相信这个证明是有效的，那么请选择任何一个自然数（这个证明对你选择的任何数字都有效），但我将向你展示n=3的情况，你应该看到一般的模式。首先，我已经证明了n=1的情况。现在，我将在归纳步骤中向你展示n=3这一特定情况下的证明： 如果你对n=2的情况不相信，那么我们可以重新使用归纳步骤中对n=2的特定情况的证明： 我只对n=1的情况使用了幂法则，所以你应该相信幂法则对n=3（和n=2）的情况都有效。 如果你碰巧是一个计算机科学家或程序员，你可能会认识到这是一个递归论证。在许多情况下，归纳法和递归法都可以描述一些东西，但它们会向相反的方向发展。 证明n<0的情况 现在我们可以使用商法则来证明这种情况，但是积法则更容易记忆和使用。相反，我们将使用以下事实： 这些函数在x = 0处没有导数，所以我们不关心。我们可以取两边的导数，使用积法则，并求出导数： 在这一点上，我们已经证明了所有整数的幂法则。 证明链式法则 用来证明积法则的方法是有效的，所以让我们试试类似的方法。由于我们想要的是h→0的情况，所以我们想要c-x→0，这相当于c→x，此外，x+h=c。把这些代入导数的定义： 你可能意识到，当c接近x时，g(c)接近g(x)。如果你看过一些函数中的函数的导数的例子，你可能会注意到一个规律（试着求(x + c)^3或(x^2+ c)^2的导数，然后提出(x + c)或(x²+ c）)。你可能会想到，取外函数相对于内函数的导数，这看起来像： 如果你定义一个新的h=g(x)-g(c)，并注意到当c接近x时，h接近0，你可以把上面的导数重写如下： 由于g(c)只是一个数字，这个表达式是f(x)在x=g(c)处的导数。我们知道如何计算这个表达式，所以如果回到原来的导数，我们会想在底部得到g(x)-g(c)。在这种情况下，可以使用另一种经典技巧：乘以1。就像加一个0一样。我们可以选择许多等于1的表达式，但是（g（x）-g（c））/（g（x）-g（c））会让我们得到正确的答案。 最后，我们得到链式法则： 这个证明存在的问题 我们在x附近使用一个a，使g(a)=g(c)，那么我们实际上没有乘以1，而是0/0（这是没有定义的）。对于我们所做的，这个链式法则的证明仍然有效因为只有当a = c时g(a) = g(c)。如果试图在x=0处求一个类似sin( 1/x )的函数的导数，你会发现一个问题，因为你永远无法在x=0周围找到一个区域，函数在这整个区域内都是有定义的。为了绕过这个限制，你可以通过解析延拓来堵住这些漏洞。在这个证明中，这对我们来说并不重要，所以我将继续往下。 证明n为有理数的情况 我们将使用一个类似于证明n<0的方法。例如，我们知道如果对一个数求第q次方根，然后取它的第q次幂，就会得到开始时的数字。在数学中，这个表述是这样的： 没有人会试图在一个函数不存在的地方取它的导数，所以我们只关心函数存在的地方的导数。在n为负整数的情况下，我们将遵循同样的过程。取两边的导数，使用链式法则，并求出导数： 为了得到所有的有理数的情况，再考虑n=p/q时的情况，其中p和q是整数：
这就完成了这一部分的证明。 证明n为无理数的情况 引用维基百科上关于幂法则的表述： 我们要把这个值定义为接近无理数幂的有理数幂级数的极限。这一部分的证明可能有一些错误，因为我从未见过有人以这种方式证明它，所以如果我搞错了，请在评论中告诉我。 每个无理数都可以被表示为有理数级数的极限。那么现在，让我们来设定一些定义： 如果r=π，那么R4=3.1415。如果r=sqrt（200），那么R3=14.142。换句话说，Rk可以得到小数点后的k个数字。很容易看出，这个有理数级数的极限是r，你可以证明这一点，因为Rk和r的差值趋于零。所以，现在我们有两个极限，k→ ∞和h→ 0：
如果我们先取k的极限，结果是： 你可能认为极限的顺序并不重要（在这种情况下是不重要的），但在一般情况下，这并不能保证。如果我们能证明两个极限都是点态收敛的，并且至少有一个极限是一致收敛的，就能保证任意阶的极限都能得到相同的结果。这个事实被称为摩尔-奥斯古德定理（ Moore-Osgood Theorem）。 点态收敛 点态收敛意味着： 无论在域中选取什么x，函数、都会收敛到x处的函数值。 我们已经证明了h极限是点态收敛的，因为它要么是x的导数的有理数次幂（我们在本文中已经证明它是收敛的），要么是x导数的无理数次幂，导数将是连续的。另一个极限也是点态收敛的，因为x^r和x^Rk之间的差值随着k的增加而趋于零。 一致收敛（均匀收敛） 一致收敛比点态收敛更有力。 对于域中的所有x和一个任意的ϵ>0，必须选择一些自然数N，使得对于N之后的任何k，fk(x)和f(x)之间的差异都小于ϵ。 例如，假设领域是（4，5），r=sqrt（2），以及ϵ=0.0001。对于k>4，fk(x)和f(x)之间的差值小于0.0001，所以N=4。我不想把一致收敛性的整个证明讲一遍，但我可以给出一般的概述：
只关注x^r，因为在同一域上一致收敛的两个函数的和或差也会在同一域上收敛。
首先，选择你要取导数的x。我们把它叫做c。
选择一个小的h，使0不在（c-2h，c+2h）内。在0处，极限可能不存在无理数，所以我们并不关心。
让域是（c - 2h, c + 2h）。
由于x^r对于所有有限的r来说在有限域上是有限的，所以x^r和x^Rk之间的差值，对于域中的每一点也是有限的。
既然每一点的差值都是有限的，那么这个差值一定有一个最小的上界。
由于这个差值在每一点上都趋于零，所以最小上限也必须减少到零。
既然最小上限为零，那么在某一点上它一定小于你选择的任何ε。
因此，我们已经证明x^Rk在相关区域内均匀地收敛于x^r。
因为fk是x^Rk在定义域内两点之差除以一个非零常数，所以k的极限也是一致收敛的。
所有无理数 现在，如果我们使用摩尔-奥斯古德定理，我们就完成了证明： Q.E.D. 摩尔-奥斯古德定理 一方面，引用一个没有证明的定理违背了标题中的 "从0开始 "。另一方面，这篇文章是为高中到大学的学生准备的，而实际分析可能会变得相当繁琐。下面是以前的文章和接下来的计划：
这篇文章从形式上确定了什么是极限。
接下来我将专门写一篇关于“点态收敛与一致收敛”的文章。