等腰三角形中的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线，只要知道其中一线，就可以说明是其它两线。
运用等腰三角形三线合一的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程。
一、直接运用
例题1、如图所示，房屋顶角 ∠BAC = 100°，过屋顶 A 的立柱 AD⊥BC，屋檐 AB = AC 。
求顶架上的 ∠B，∠C ，∠BAD 和 ∠CAD 的度数 。
例题1图
解：
∵ 在 △ABC 中 AB = AC ， ∠BAC = 100° ， AD⊥BC
∴ ∠B = ∠C =1/2（180° - ∠BAC）= 40°
∴ ∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC = 50°
例题2、如图所示，在 △ABC 中， AB = AC ， AD = DB ，DE⊥AB 于点 E ，若 BC = 10 ，且 △BDC 的周长为 24 。
求 AE 的长 。
例题2图
解：
∵ △BDC 的周长为 24 ，BC = 10
∴ BD + CD = 14
∵ AD = BD
∴ AC = AD + CD = BD + CD = 14
又 ∵ AB = AC
∴ AB = 14
又 ∵ AD = DB ， DE⊥AB
∴ AE = EB =1/2AB = 7
例题3、如图所示，在 △ABC 中 ，AB = AC ， AD⊥BC 于点 D ，BE⊥AC 于点 E ，AD 和 BE 相交于点 H ，且 BE = AE 。
求证：AH = 2BD 。
例题3图
证明：
∵ AD⊥BC ， BE⊥AC
∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°
∴ ∠EBC + ∠BHD = 90° ， ∠EAH + ∠AHE = 90°
∵ ∠BHD = ∠AHE
∴ ∠EBC = ∠EAH
∵ BE = AE
∴ △AHE ≌ △BCE
∴ AH = BC
又 ∵ AB = AC , AD⊥BC
∴ BC = 2BD
∴ AH = 2BD
二、添加辅助线运用
例题4、如图所示，在等边 △ABC 中 ，D 是 AC 的中点 ，E 是 BC 的延长线上的一点，且 CE = CD ，DM⊥BC 于点 M 。
求证： M 是 BE 的中点 。
例题4图
证明：连接 BD
∵ 在等边 △ABC 中 ， D 是 AC 的中点
∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC =1/2× 60° = 30° ，∠ACB = 60°
∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E
∵ ∠ACB = ∠CDE + ∠E
∴ ∠E =1/2∠ACB = 30°
∴ ∠DBC = ∠E = 30°
∴ BD = DE ∴ △BDE 为等腰三角形
又 ∵ DM⊥BC
∴ M 是 BE 的中点
三、构造运用
例题5、如图所示，在 △ABC 中 ， AC = 2AB ，AD 平分 ∠BAC ，E 是 AD 上一点 ，且 EA = EC 。
求证：EB⊥AB 。
例题5图
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F
∵ EA = EC ∴ AF =1/2AC
又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB
∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE
又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB （SAS）
∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° ， 即 BE⊥AB 。
例题6、如图所示，已知在等腰直角 △ABC 中， AB = AC ，∠BAC = 90° ，BF 平分 ∠ABC ，CD⊥BD 交 BF 的延长线于点 D 。
求证：BF = 2CD 。
例题6图
证明：延长 BA ， CD 交于点 E
∵ BF 平分 ∠ABC ， CD⊥BD
∴ ∠EBD = ∠CBD ，∠BDE = ∠BDC = 90°
又 ∵ BD = BD
∴ △BDC ≌ △BDE
∴ BC = BE
又 ∵ BD⊥CE ， ∴ CE = 2CD
∵ ∠BAC = 90° ， ∠BDC = 90° ， ∠AFB = ∠DFC
∴ ∠ABF = ∠DCF
又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°
∴ △ABF ≌ △ACE （ASA）
∴ BF = CE
∴ BF = 2CD
