提要
等腰三角形是最常见的图形，由于它具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一。等腰三角形三线合一是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用三线合一的性质解题。同时，要注意在底和腰没有明确的条件下需分类讨论。
知识全解
一．定义
有两条边相等的三角形称为等腰三角形，其中相等的两条边称为等腰三角形的腰，另一条称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰和底边的夹角称为底角。
二．性质
（1） 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。
（2） 等腰三角形两底角相等
（3） 等腰三角形底边上的高线，中线，顶角平分线重合（简称三线合一）
三．判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边
方法点拨
类型1 三线合一性质应用
例1 如图所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE。求证：AD=AE
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，过顶角的顶点作底边上的高
【解答】过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC
∴BF=CF
又∵BD=CE
∴DF=EF
∴AD=AE
【总结】等腰三角形三线合一是等腰三角形的重要性质，在解答有关等腰三角形问题时如果知道三线中的一线，就可以得出其他两线，但要注意使用条件和使用规范。如果没有给出三线中的一个，则可以通过条件辅助线的方法构造出相应图形。
类型2 方程思想求角度
例2 如图所示，在△ABC中，D是边BC上的一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数
【分析】由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求出∠BAC的度数。
【解答】∵AD=BD
∴设∠BAD=∠DBA=x
∵AB=AC=CD
∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x，∠DBA=∠C=x
∴∠BAC=3∠DBA=3x
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180
∴5x=180
∴∠DBA=36
∴∠BAC=3∠DBA=108
【总结】本题根据等腰三角形性质得出相等的角，再结合三角形内角和，外角性质列出方程求解。
类型3 等角三角形的判定
例3 如图所示，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE‖AC，求证：BE=DE
【分析】由AD平分∠BAC，得出∠EAD=∠CAD，DE‖AC，得出∠CAD=∠ADE，进一步得出∠EAD=∠ADE，再进一步利用等角的余角相等得出∠BDE=∠B，证得结论。
【解答】∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵DE‖AC
∴∠CAD=∠ADE
∴∠EAD=∠ADE
∵BD⊥AD
∴∠ADE+∠BDE=90
∴∠EAD+∠B=90
∴∠BDE=∠B
∴BE=DE
【总结】证明线段相等，如果要证明的两条线段在同一个三角形中，通常考虑根据等角对等边来证明
