本文以两道含有45º角的中考试题为载体,分析这类问题的共同特点和解法,供同学们参考.
一、试题呈现
上面的两道中考填空题,虽然形式上不太一样,但是有着一个共同的特点,都存在一个45º的特殊角.因此,如何利用45º角成为了解题的突破口,45º角的两边与轴的交点都形成了一个类似的三角形,因此这两道题有着如下的共同解法.
二、解法展示
1.构造 “三角形的高”,回到勾股定理
【分析】遇到直角问题,有时要回归到勾股定理,利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中,我们经常会利用勾股定理构造方程.本题中依靠∠CPA=45°构造等腰直角三角形,同时得到△POA:△CDA ,一箭双雕.
2.构造“四点共圆”,运用两点间的距离公式
【分析】“四点共圆”是一种常见的基本图形,它可以运用同弧所对的圆周角相等,半径相等直径所对的圆周角是直角等一系列知识点,灵活多变.
【分析】 “半角模型”也是一种常见的基本图形,这类问题一般利用旋转完成,可以得到全等三角形,进而得到线段之间的关系.
4.构造“角平分线”,运用内角平分线的性质
【分析】由于45º是90º的一半,构造了角平分线,恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质,45º这一条件,让人产生了很多遐想,补全直角也是一种常见的手段.
5.构造“一线三等角”,利用相似三角形
【分析】 “一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常,一个只有两等角,另一个根本不存在等角,所以我们利用45º的角去构造等腰直角三角形,形成“一线三等角”的基本模型,再利用相似三角形的基本性质列出方程.
6.构造“三垂型”模型,利用全等三角形
【分析】 “三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形,也可以用来证明勾股定理.看到45º角可以构造等腰直角三角形,进而形成“三垂型”模型.
解题反思
1.活用解题模型,呈现多样解法
2.抓住问题本质,学会异中求同
3.明确解题方向,确定解题途径