分为科研，教学，名声三个方面来比较一下。
1、科研实力对比
科研综合实力比较，大都是对比硬件，论文数量，院士数量等等。中科院的定位就是国家科技的国家队，共一百多个研究所，十数万员工，每年文章数量世界第一，院士数量也是远超北大。但是中国科学院大学(即国科大)跟中科院还是要区分一下，国科大不能代表中科院，虽然中科院发的文章也署名国科大的名号，虽然中科院的院士们也挂在国科大的网站上。国科大之于中科院，有点像虚拟机之于pc机群，各个研究所就像相对独立的单机，中科院就像各个研究所组成的机群。北京大学科研实力也很强，但是由于体量和国家定位的原因，总体实力比不了国科大。
2、教学实力
北大1905年建校，历史悠久，名声远扬，师资力量雄厚，教学经验丰富，文化积淀深厚。作为综合性大学专业设置也相对全面。国科大前身是1978年建校的“中国科技大学研究生院”，2000年更名为“中国科学院研究生院”，2012年正式更名为“中国科学院大学”，并开始招收本科生，之前只能招收研究生。国科大毕竟建校时间短，没能有效整合中科院的师资和科研等资源，仓促之下难免有拼凑的弊病。很多老师科研是一把好手，但是教学经验却很欠缺。特别是本科生教育，由于2012年才开始招收本科生，这方面经验跟北大的差距可想而知。另外，国科大学科设置以理工科为主，文科专业非常有限。总之，在教学方面北大轻松胜出。
3、名声等软实力
名声方面，在很多科研领域以外的人，很少知道国科大的，只是听名字觉得应该蛮高大上的，但是全国人民没几个不知道北大的。毕业生找工作，北大的文凭大家还是很认可的，国科大的文凭在科研领域也还行，出了这个领域就要反复跟人解释了。很尴尬的是，很多招聘网站填写毕业学校时没有国科大这个选项，只能选“其他学校”，第一轮简历筛选就被人干掉了。在上海这样的大城市落户打分时，国科大也是算作二类学校，比985学校要少三分，这方面也是比较吃亏的。
最后总结一下，学校实力是一回事，个人选择还是要考虑的更细化一下，因人制宜。如果是读本科，最好还是读北大；如果是读研究生，要看你是否立志于科研，还要看你想读的具体方向，在很多科研方向上，国科大确实是绝对的霸主。