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中考数学压轴题分析:双动点产生的动点轨迹问题

时间:2022-04-19 14:49:52 热闻 我要投稿

本文内容选自2021年广州市中考数学压轴题,题目双动点产生的运动轨迹问题,比较综合、设计巧妙,值得研究.

【中考真题】

(2021·广州)如图,在菱形中,,,点为边上的一个动点,且,与交于点;当为中点时,求证:四边形为平行四边形;若,求的长;

当点从出发运动到时,求点运动的轨迹长.

【分析】

(1)由点E为AB的中点,可以得到四边形DFEC的一组对边平行且相等,因此结论得证.

(2)几何求值问题,可以考虑构造直角三角形用勾股定理解决.

(3)先确定轨迹,再求路径长.

①思路一:延长AG交BC于一点M,易得点M为定点,因此点G在线段AM上运动;

②思路二:证明∠BAG为定值,如求其锐角三角函数值(如tan)可以得到为定值,则点G在线段上运动;

③思路三:建立平面直角坐标系,得到点G的坐标满足直线解析式,那么点G在线段上运动.

④思路四:如下图,构造平行线.在BA上取一点M使得AM=1/2AB,连接DM,易得DG/GE=DC/EF=MA/AE,因此可以得到△AGE∽△MDE,那么就可以得到AG始终平行于DM,则点G在线段上运动.

【答案】

解:∵为中点,∴,∵菱形,∴,,∴,∴四边形为平行四边形.如图,过点作与,∵菱形,∴,,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,,设,则,,∴,,在中,,∴,解得(舍去),.∴.

如图,连接并延长交于点,连接交于点,并连接,∵,,∴为等边三角形.∴.∵∵,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,∴.∴当点从出发运动到时,点始终在直线上运动,运动轨迹为线段,∵当点与重合时,点与点重合;当点与重合时,点为与的交点;∴点运动的轨迹长为线段的长.∵,∴,∴,

∴点运动的轨迹长.

另解:如图,以点为原点,射线为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则点,,,.设点的坐标为,则点的坐标为,易得直线的解析式为,直线的解析式为,联立并解得点的坐标为,所以点的坐标满足,即点的运动轨迹为线段.当时,点的坐标为,当时,点的坐标为.

∴点的运动轨迹长为.

本题压轴一问考查动点轨迹的问题,题目的问法与2021年越秀区一模的压轴题类似。只是轨迹由弧变成直线,解法类似。

【总结】

凡是动点轨迹问题,先判断轨迹的形状,一般分为两种:线段或弧.判断时只需取三个特殊点,如起点,中间点和终点.判断形状后再证明.

像本题这种运动轨迹为线段的问题,类似物理中的参照系,需要选择一些固定的点或线,根据相对位置不变来判断.