鞅定价方法

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鞅定价方法(Martingale Pricing Technique/martingale pricing theory/theory of martingale pricing)

鞅定价方法概述

　　Harrison 及 Kreos (1979)提出了一种求解金融衍生产品的定价方法——鞅定价方法。在鞅定价方法下，证券的价格可由折现该产品未来现金流量得到，且期望值折现在风险中立下计算。鞅定价方法比随机微分方程简单，也不会涉及复杂的积分。许多随机微分方程不能求解的问题，鞅定价方法可轻易求解。

　　股票价格的随机过程可以表示为：

　　 $\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dW^P$

　　 $W P$ 表示在概率测度P下的布朗运动。上述公式可以转化为风险中性概率测度Q下的随机过程：

　　 $\frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW^Q$

　　其中： $dW^P=dW^Q-(\frac{\mu-r}{\sigma})dt$ 。

　　比较上述两个公式可以发现，原来的μ已经被无风险利率r 取代，波动率σ 并未受到影响。

　　在风险中性概率测度Q下，股票价格的动态过程变为：

　　 $d lnS_t=(r-\frac{\sigma^2}{2})dt+\sigma\delta W^Q_T$

　　因此，相应的其动态过程可表示为：

　　 $S_T=S exp(r-\frac{\sigma^2}{2})T+\sigma\delta W^Q_T$

　　在定价股票期权时，须计算 $E Q [S T | S T > K]$ ，它表示在到期日T，股价S_T大于执行价格K 的期望。

　　利用Girsanov 定理，经过一系列推导，可以得到：

　　 $E Q [S T | S T > K] = S E r T N (d 1)$

　　其中， $N(d_1)=\int_{\infty}^{d_1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-X^2/2}dx$ 标准正态分布的累积概率。

　　计算出 $E Q [S T | S T > K]$ 后，然后再依据买、卖权以及其它相应的条件比较容易的得到股票期权的价格。

鞅的解析

　　鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934)。但是真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他于1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。

　　鞅在20 世纪70 年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程，最早出现在Pliska&Kreps。由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析(例如期权定价)变得更加简洁和优雅；并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。

　　“鞅”一词来源于法文martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢?简单的说，鞅是“公平”赌博(fair game)的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢?假设一个人在参加赌博，他已经赌了n 次，正准备参加第n +1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用 $X n$ 表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有

　　 $E (X n | X n - 1) = X n - 1$

　　成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的。

　　在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把X 设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而 $E X n$ 就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20 世纪80 年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。

鞅定价方法案例分析

案例一：鞅方法在期权定价中的应用^[1]

　　期权是以期货为基础产生的一种金融工具，其本质是要求权利和义务分别进行定价。因此，购买方在支付一定的费用后将获得在允许的时间内买或卖一定数量商品的选择权。其中，期权的价格又是随市场的供求变化而变化的，它的高低也直接影响到买卖双发的盈亏，是交易的核心问题。

　　一、期权价格模型的发展

　　因此要求买卖双方：（1）确保同时精确地观察到期权的价格；（2）详细考虑投资者是否已经利用了观察到的套现机会；（3）考虑到交易所需要的费用；（4）全面估计在有效期内应支付的红利。但在现实实践中，以上四点非常难完成，甚至不可能完成。早在1900年法国金融学家Bachelier在其博士论文中首次提出了期权的布朗运动定价理论；1969年Sanuelson与Merton提出了以期权价格做为基础资产价格函数的观点，随着B-S公式的问世，大大刺激了学者对期权的定价机制、方法、进行研究。

　　二、鞅方法的应用

　　鞅作为特殊的随机过程满足如下的条件：根据过程在s时刻之前的变化规律，其在将来某一时刻t的期望值等于过程在该时刻s的值。如在公平赌博过程中，用Z(t)表示某一赌徒在t时刻所拥有的本金，那么Z＝|Z(t)，t＞0|为鞅，也就是说无论该赌徒在s时刻以后的赌博中如何利用经验，他在将来t时刻期望拥有的本金只能是Z(s)。