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TOPSIS法

  	      	      	    	    	      	    
TOPSIS法（Technique for Order Preferenceby Similarity to Ideal Solution,）逼近理想解排序法、理想点法 
 
目录
  
 
TOPSIS法概述
 
　　TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。理想化目标（Ideal Solution）有两个，一个是肯定的理想目标（positive ideal solution）或称最优目标，一个是否定的理想目标（negative ideal solution）或称最劣目标，评价最好的对象应该是与最优目标的距离最近，而与最劣目标最远，距离的计算可采用明考斯基距离，常用的欧几里德几何距离是明考斯基距离的特殊情况。 
　　TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理想解和反理想解表示) ,分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0～1 之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。该方法已经在土地利用规划、物料选择评估、项目投资、医疗卫生等众多领域得到成功的应用,明显提高了多目标决策分析的科学性、准确性和可操作性。 
 
TOPSIS法的基本原理
 
　　其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。 
　　TOPSIS法中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。所谓理想解是一设想的最优的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值；而负理想解是一设想的最劣的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。 
 
TOPSIS法的数学模型[1]
 
　　遇到多目标最优化问题时,通常有m 个评价目标D_1,D_2,\cdots,D_m, 每个目标有n 评价指标X_1,X_2,\cdots,X_n。首先邀请相关专家对评价指标(包括定性指标和定量指标) 进行打分,然后将打分结果表示成数学矩阵形式,建立下列特征矩阵: 
　　D=\begin{bmatrix}x_{11} & \cdots & x_{1j} & \cdots & x_{1jn} \\ \vdots &  & \vdots & & \vdots \\ x_{i1} & \cdots & x_{ij} & \cdots & x_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ x_{m1} & \cdots & x_{mj} & \cdots & x_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D_1(x_1) \\ \vdots \\ D_i(x_j) \\ \vdots \\ D_m(x_n)\end{bmatrix} 
　　=\begin{bmatrix}X_1(x_1),\cdots,X_j(x_i),\cdots,X_n(x_m)\end{bmatrix}。 
　　计算规范化矩阵 
　　对特征矩阵进行规范化处理,得到规格化向量rij ,建立关于规格化向量rij的规范化矩阵 
　　r_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^m x_{ij}^2}} 
　　i=1,2,\ldots,m,j=1,2,\ldots,n。 
　　构造权重规范化矩阵 
　　通过计算权重规格化值vij,建立关于权重规范 化值vij 的权重规范化矩阵 
　　v_{ij}=w_jr_{ij},i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,n。 
　　其中,wj是第j 个指标的权重。在基于ASP的动态联盟制造资源评估模型中,采用的权重确定方法有Delphi法、对数最小二乘法、层次分析法、熵等。 
　　确定理想解和反理想解 
　　根据权重规格化值vij来确定理想解A * 和反理想解A − : 
　　A^{*}={(max_{i} v_{ij}|j\in J_1),(min_{i} v_{ij} | j\in J_2),| i=1,2,\cdots,m}={v_1^{*},v_2^{*},\cdots,v_j^{*},\cdots,v_n^{*}} 。 
　　A^{-}={(min_{i} v_{ij}|j\in J_1),(max_{i} v_{ij} | j\in J_2),| i=1,2,\cdots,m}={v_1^{-},v_2^{-},\cdots,v_j^{-},\cdots,v_n^{-}}。 
　　其中,J1是收益性指标集, 表示在第i个指标上的最优值; J2是损耗性指标集, 表示在第i个指标上的最劣值。收益性指标越大,对评估结果越有利;损耗性指标越小,对评估结果越有利。反之,则对评估结果不利。 
　　计算距离尺度 
　　计算距离尺度,即计算每个目标到理想解和反理想解的距离,距离尺度可以通过n维欧几里得距离来计算。目标到理想解A * 的距离为S * ,到反理想解A − 的距离为S − : 
　　S^{*}=\sqrt{\sum_{j=1}^n(V_{ij}-v_j^{*})^2} 
　　S^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^n(V_{ij}-v_j^{-})^2} 
　　i=1,2,\cdots,m。 
　　其中,v_j^{*}与v_j^{-}分别为第j个目标到最优目标及最劣目标的距离, vij是第i个目标第j个评价指标的权重规格化值。S * 为各评价目标与最优目标的接近程度, S * 值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优。 
　　计算理想解的贴近度C *  
　　C_i^{*}=\frac{S_i^{-}}{(S_i^{*}+S_i^{-})},i=1,2,\cdots,m。 
　　式中,0\le C_i^{*}\le 1。当C_i^{*}=0时, Ai = A − ,表示该目标为最劣目标;当C_i^{*}=1时, Ai = A * , 表示该目标为最优目标。在实际的多目标决策中, 最优目标和最劣目标存在的可能性很小。 
　　根据理想解的贴近度C * 大小进行排序 
　　根据C * 的值按从小到大的顺序对各评价目标进行排列。排序结果贴近度C * 值越大,该目标越优,C * 值最大的为最优评标目标。 
 
参考文献
 
 
  1. ↑ 李浩、罗国富、谢庆生.基于应用服务提供商的动态联盟制造资源评估模型研究