需求函数

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需求函数(Demand function)

需求函数概述

　　需求函数(Demand function)：是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是自变量，需求数量是因变量。

　　需求函数是描述商品的需求量与影响因素，例如收入、价格、其它商品的价格等之间关系的数学表达式。

　　需求函数是单调减少函数。

需求函数模型

　　 $q_i=f(I,P_1,\cdots,p_i,\cdots,p_n)$

　　特定情况下可以引入其它因素。

从效用函数到需求函数

　　⑴ 从直接效用函数到需求函数

　　直接效用函数为：

　　 $U=u(q_1,1_2,\cdots,q_n)$

　　预算约束为：

　　 $\sum^{n}_{i=1}q_ip_i=I$

　　在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。

　　构造如下的拉格朗日函数：

　　 $L(q_1,q_2,\cdots,q_n,\lambda)=u(q_1,q_2,\cdots,q_n)+\lambda(I-\sum^n_{i=1}q_ip_i)$

　　极值的一阶条件：

　　 $\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{\partial u}{\partial q_i}-\lambda p_i=0\\\frac{\partial L}{\partial\lambda}=I-\sum^{n}_{i=1}q_ip_i=0\end{cases}$

　　求解即得到需求函数模型。

　　⑵ 从间接效用函数到需求函数

　　间接效用函数为：

　　 $V=v(p_1,p_2,\cdots,p_n,I)$

　　利用公式

　　 $q_i=\frac{\frac{\partial V}{\partial p_i}}{\frac{\partial V}{\partial I}} i=1,2,\cdots,n$

　　可以得到所求的使效用达到最大的商品需求函数。

需求函数的0阶齐次性

　　⑴ 需求的收入弹性

　　 $\eta_i=\frac{\frac{\Delta q_i}{q_i}}{\frac{\Delta I}{I}}\to^{\Delta\to 0}\frac{\frac{\partial q_i}{\partial I}}{\frac{I}{q_i}}$

　　⑵ 需求的自价格弹性

　　 $\epsilon_{ii}=\frac{\frac{\Delta q_i}{q_i}}{\frac{\Delta p_i}{p_i}}\to^{\Delta\to 0}\frac{\frac{\partial q_i}{\partial p_i}}{\frac{p_i}{q_i}}$

　　⑶ 需求的互价格弹性

　　 $\epsilon_{ij}=\frac{\frac{\Delta q_i}{q_i}}{\frac{\Delta p_j}{p_j}}\to^{\Delta\to 0}\frac{\frac{\partial q_i}{\partial p_j}}{\frac{p_i}{q_j}}$

　　⑷ 需求函数的0阶齐次性条件

　　当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时，对商品的需求量没有影响。即

　　 $f(\lambda I,\lambda P_1,\cdots,\lambda p_i,\cdots,\lambda p_n)=\lambda^0f(I,p_1,cdots,p_i,\cdots,p_n)$

几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计

　　⒈ 线性需求函数模型

　　 $q_i=\alpha+\sum^{n}_{j=1}\beta_jp_j+\gamma\cdot I+\mu$

经验中存在
缺少合理的经济解释
不满足0阶齐次性条件
OLS估计

　　⒉ 对数线性需求函数模型

　　 $ln q_i=\alpha+\sum^{n}_{j=1}\beta_jln p_j+\gamma ln I+\mu$

经验中比较普遍存在
参数有明确的经济意义
每个参数的经济意义和数值范围？
可否用0阶齐次性条件检验？
OLS估计