遍历理论

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遍历理论(Ergodic Theory)

什么是遍历理论

　　在统计学中，遍历理论是指在统计力学发展的中期，冯·诺伊曼(Von Neumann)和伯克霍夫(Birkhoff)给出了识别具有时间平均的空间平均问题的解答。可以表述如下:如果 $x 1$ （ $-\infty$ <t< $\infty$ ）表示一个保守的动态系统轨道，在时间 $t = 0$ 时，通过点 $r = r 0$ ，在此系统的相空间 $Ω$ 上定义的适当函数：

　　 $\lim_{T \to \infty}(1/T)\int_{0}^{T} f(x_t)dt=\int_{\Omega} fdm/m(\Omega)$

遍历理论的研究

　　 $\lim_{T \to \infty}(1/T)\int_{0}^{T} f(x_t)dt=\int_{\Omega} fdm/m(\Omega)$ 方程式的左边是一个沿着轨道对于函数(可观察的)f的时间平均，而右边是相或空间平均。

　　冯·诺伊曼证明了该式的一个平均收敛形式，以后不久，G·D·伯克霍夫证明了该式，正如他所说的，对于几乎所有的状态，包括这里的两种情况，都是在假设系统(限于 $Ω$ )为遍历的情况下得到的。遍历是一种概念，我们现在来解释它(冯·诺伊曼，1932年;伯克霍夫，1931年)。人们很快就认识到，(遍历定理)的两种形式可以在更加抽象的背景下描述和证明。诚然，人们可以说，这种抽象和由此而产生的数学式子就是遍历理论本身。

　　令( $Ω$ ,m)代表一个有限维的抽象空间，(假设 $m (Ω) = 1$ 也不失一般性，正如我们将要做的。)设 $T t$ 为一个变换族，下标是时间(在各种情况下，它是一个实数、整数)。假设这一族变换是保测变换( $m T t B = m B$ ，对于所有的“可测”集均成立)。那么，当才在它的指标集中变化时对 $T t$ 的研究，就提供了一个渐近系统模型，这样的渐近系统如同前面描述的相空间中的动态学系统一样，在其中的测度(体积)是被保证的。如果O不能被分解成两个不相交的不变可测集A,B( $A \cup B=\Omega$ , $A \cap B=\phi$ , $T t A = A t$ , $T t B = B$ )所有t那么就称上述这样的系统是遍历系统。

　　在严格的意义上来说，时间平均空间平均问题并不是由冯·诺伊曼和伯克霍夫解决的，远在开始产生古典的动态系统的时候就已经涉及到，但对这样的系统是否是遍历系统的问题并未解决。

　　在遍历理论方面，大部分研究者所关心的是用整数作下标的保测变换 $T t$ 本身的问题，也就是 $T t = T$ , $T t$ 是T的t次迭代。在这方面的结果必然导致实连续时间的结果。

遍历理论

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什么是遍历理论

遍历理论的研究