费马小定理

费马小定律(Fermat's Little Theorem)

什么是费马小定律

　　费马小定理是数论中的一个定理。其内容为假如a是一个整数，p是一个质数的话，那么:

　　 $a p = a (mod p)$

　　假如a不是p的倍数的话，那么这个定理也可以写成:

　　 $a p - 1 = 1(mod p)$

　　这个书写方式更加常用些。

　　费马小定理是欧拉定理 (数论)的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么:

　　 $a^{\varphi (n)} = 1 \pmod{n}$

　　在这里φ(n)是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。假如n是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。

　　在费马小定理的基础上费马提出了一种测试质数的算法。

　　皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个质数的要求。这个要求实际上不存在。

　　与费马无关的有一个中国猜想。这个猜想是中国数学家提出来的。其内容为如果，而且只有当 $2 p = 2(m o d p)$ 成立时p才是一个质数。

　　假如p是一个质数的话，则 $2 p = 2(m o d p)$ 成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。但反过来，假如 $2 p = 2(m o d p)$ 成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。因此整个来说这个猜想是错误的。

　　一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了。但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。

　　若n不整除a-b，x>0，(x,n)=1，則n也不整除x(a-b)。取整數A为所有小於p的集（p不整除A），B为A中所有元素乘以a的集合。因任何两个A中的元素差都不能被p整除，所以任何两个B中的元素差也无法被p整除。因此:

　　 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-1) = (1 \cdot a)\cdot(2 \cdot a)\cdot\dots\cdot ((p-1) \cdot a) \pmod{ p},$

　　即:

　　 $W = W\cdot a^{p-1} \pmod{p},$

　　在这里W=1·2·3·...·(p-1)。将整个公式除以W即得到:

　　 $a p - 1 = 1(mod p)$

　　如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为伪质数。

　　假如所有符合1<b<p的b、p都满足下列条件的话:

　　 $b^{p} = b \mod p$

　　则p必定是一个质数。

　　实际上没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。

　　这个算法的缺点是它非常慢，运算率高。