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欧拉定理

  	      	      	    	    	      	    
欧拉定理（Euler Theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉{\varphi}函数定理 
 
目录
  
 
 什么是欧拉定理 
 
　　欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。现在的问题是：要素所有者按照市场形成的要素价格获得收入，全部要素收入是否等于社会总产品？ 
　　在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。即： 
　　P \cdot M P_l=W  （9.9） 
　　P \cdot M P_k=r  （9.10） 
　　由式9.9和9.10可得： 
　　M P_l={W\over P}（9.11） 
　　M P_k={r\over P}（9.12） 
　　P为产品的价格，W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因此在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K，而社会总产品为Q，那么就有： 
　　Q=L \cdot M P_l+K  \cdot M P_k （9.13） 
　　式9.13称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。 
 
 欧拉定理的证明 
 
　　假设生产函数为：Q=f(L.K) 
　　由于规模报酬不变，所以生产函数为齐次方程，因此有： 
　　{Q \over L}=f({L \over L},{K \over L})=f(1,k)=\varphi(k)    　　　　(k={K\over L}) 
　　k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。 
　　{\partial Q \over \partial L} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial L}  = \varphi (k) + L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {dk \over dL}   = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {dk \over dL}   = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot \left( {{-K } \over {L^2} } \right)  = \varphi (k) - k \cdot \varphi ^\prime (k) 
　　{\partial Q \over \partial K} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial K}  = L \cdot {{\partial \varphi (k)} \over \partial k }  = L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {{\partial k} \over {\partial K}}  = L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {1 \over L } = \varphi ^\prime (k) 
　　由上面两式，即可证明欧拉定理： 
　　L \cdot {\partial Q \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q } \over {\partial K}}  = L \cdot [\varphi (k) - k \varphi ^\prime (k)] + K \cdot \varphi ^\prime (k)  = L \cdot \varphi (k) - K \cdot \varphi ^\prime (k) + K \cdot \varphi ^\prime (k) = L \cdot \varphi (k) = Q 
　　在规模报酬递增情况下，如果按照边际生产力分配，则产品不够分配给各个生产要素，即： 
　　L \cdot {{\partial Q } \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q} \over {\partial K}} > Q（9.14） 
　　在规模报酬递减情况下，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即： 
　　L \cdot {{\partial Q } \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q} \over {\partial K}} < Q（9.15） 
　　证明如下： 
　　如果生产函数  Q=f(L,K)为r齐次，则有：  
　　Q=L^r \cdot \varphi (k) 
　　因此有： 
　　{{\partial Q }\over {\partial K}} = L^{r-1}\varphi ^\prime (k) 

 　　{{\partial Q }\over {\partial L}}=r L^{r-1} \varphi (k) - L^{r-1}k\varphi ^\prime (k) 

 　　L \cdot {{\partial Q}\over {\partial L}}+K\cdot {{\partial Q} \over {\partial K}} = rL^r \varphi (k) =rQ 
　　显然在规模报酬递增时，r>1，所以有： 

 　　L \cdot {{\partial Q}\over {\partial L}}+K\cdot {{\partial Q}\over{\partial K}} > Q 
　　在规模报酬递减时， ，所以有： 
　　L \cdot {{\partial Q}\over {\partial L}}+K\cdot {{\partial Q}\over{\partial K}}  < Q 
 
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