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二项分布

  	      	      	    	    	      	    
二项分布（Binomial distribution） 
　　二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里始创的，所以又叫贝努里分布。 
　　二项分布是指统计变量中只有性质不同的两项群体的概率分布。所谓两项群体是按两种不同性质划分的统计变量，是二项试验的结果。即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的。因而两项分布又可说是两个对立事件的概率分布。 
 
目录
  
 
二项分布的解析
 
　　二项分布用符号b(x．n．p)，表示在n次试验中有x次成功，成功的概率为p。 
　　二项分布的概率函数可写作： 
　　b(x．n．p)=C_n^xp^xq^{n-x} 
　　式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数 
　　C_n^x=\frac{n!}{x!(n-x)!} 
　　两项分布中含有两个参数n与p，当它们的值已知时，便可计算出分布列中各概率的值。 
　　例1   掷硬币试验。有10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少? 
　　解：根据题意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5 
　　b(5、l0、1/2) = C_{10}^5 P^5 q^{10-5} 
　　= 10! / (5!(10-5)!) \times (1/2)5 \times (1/2)5 
　　= 252 \times (1/32) \times (1/32) 
　　= 0．24609 
　　所以五次正面向上的概率为0．24609 
　　此题若问五次及五次以上正面向上的概率是多少? 
　　解：此题要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—10应为： 
　　C_{10}^5 P^5 q^{10-5}+ C_{10}^6 P^6 q^{10-6} + C_{10}^7 P^7 q^{10-7} + C_{10}^8 P^8 q^{10-8}+C_{10}^9 P^9 q^{10-9}+ C_{10}^10 P^10 q^{10-10} 
　　= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024 
　　= 638/1024 
　　= 0．623 
　　五次及五次以上正面向上的概率为0．623 
　　此题各项展开式的系数，若用杨辉三角计算也十分方便。读者：前面的杨辉三角写到(p + q)10。试比较五次及五次以—LK面向；的各项系数是否为252、210、120、45、10、1。 
 
二项分布的性质
 
　　(一)二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。 
　　1．当p＝q时图形是对称的 
　　例2   (p + q)6，p=q＝1/2，各项的概率可写作： 
　　p6 + 6p5q + 15p4q2 + 20p3q3 + 15p2q4 + 6plq5 + q6 
　　= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64 
　　= 1 
　　2．当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。 
　　(二)二项分布的平均数与标准差 
　　如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质： 
　　μ = np                              (5—10a) 
　　\sigma=\sqrt{npq}                     (5—10b) 
　　即x变量具有μ = np ,\sigma=\sqrt{npq} 的正态分布。 
　　式中n为独立试验的次数， 
　　p为成功事件的概率，q＝1- p。  由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ = np ，成功次数的分散程\sigma=\sqrt{npq} 。例如一个掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均次数为5次(μ= np＝1/2\times10)，正面向上的散布程度为10×（1/2）×（1/2）＝ 1．58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1．58。 
 
二项分布的应用条件
 
　　1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。 
　　2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。 
　　3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。 
 
二项分布的应用
 
　　项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由 ?猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。 
　　例3有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素? 
　　此题p＝q=1/2，即猜对猜错的概率各为0．5。np≥5，故此二项分布接近正态分布： 
　　\mu=np=10\times0.5＝5 
　　根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95％。如果用原分数表示，则为 
　　\mu+1.645\sigma=5+1.645\times1.58=7.6≈8 
　　它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95％，猜对8、9、10题的概率只5％。因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。但应该明确：作此结论，也仍然有犯错误的可能，即那些完全靠猜测的人也有5％的可能性答对8、9、10道题。 
　　此题的概率值，还可用二项分布函数直接计算，亦得与正态分布近似的结果： 
　　b(8  10  0.5)＝C102p8q2 ＝10\times9/2\times0.58\times0.52 ＝ 45/1024 
　　b(9  10  0.5)＝C101p9q1 ＝10\times0.59\times0.51 ＝ 10/1024 
　　b(10  10  0.5) ＝C100p10＝ 1/1024 
　　根据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024＝56/1024 = 0．0547  同理，可计算8题以下的概率为 95％。(近似)． 
　　例4有10道多重选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的。问答对几题才能说不是猜的结果? 
　　此题n＝10，p＝1/5 = 0．2，q = 0．8，np<5，故此题不接近正态分布，不能用正态分布计算概率，而应直接用二项分布函数计算猜时各题数的概率： 
　　b(10、10、0.2)＝C_{10}^{0}0.2^{10} 0.8^0＝1 \times 0.2^10 \times 0.8^0＝0.000000102 
　　b(9、10、0.2)=C_{l0}^10.2^90.8^1＝10\times0.2^9\times0.8^1＝0.000004096 
　　b(8、10、0.2)= C_{l0}^20.2^80.8^2＝45\times0.2^8\times0.8^2＝0.000073728 
　　b(7、10、0.2)＝C_{l0}^30.2^70.8^3＝120\times0.2^7\times0.8^3＝0.000786432 
　　b(6、10、0.2)＝C_{l0}^40.2^60.8^4＝210\times0.2^6\times0.8^4＝0.00550524 
　　b(5、10、0.2)＝C_{l0}^50.2^50.8^5＝252\times0.2^5\times0.8^5＝0.026424115 
　　b(4、10、0.2)＝C_{l0}^60.2^40.8^6＝210\times0.2^4\times0.8^6＝0.088080384 
　　根据以上所计算的猜对各题数的概率，可用概率加法求得猜对5题及5题以上的概率为0．03279，不足5％，故可推论说答对5题以上者可算真会，作此结论仍有3．3％犯错误的可能。 
　　若上例中题数增加到30题，则np>5，就可用正态分布的概率计算： 
　　解：\mu=np=30\times0.2＝6 
　　\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{30\times0.2\times0.8} =2.191 
　　X＝μ+1.645×σ=6 +1.645×2.191＝9.6 
　　因此可得结论，答对10题或10题以上，才能被认为是真会。作此结论犯错误的概率为5％。 
　　如果想使推论犯错误的概率降为1％，则根据正态分布可求得此时的z＝2.33，使用相同的计算方法，只将2.33代替1.645，可求得临界的分数(或答对的题数)。